Dans cet article, nous allons travailler ensemble sur deux notions fondamentales en statistiques : l’espérance et la variance ! Tu vas retrouver ces deux notions dans de nombreux concepts et théorèmes mathématiques, il est donc primordial de les comprendre et de savoir les utiliser. Cet article est justement là pour te permettre de maîtriser toutes les propriétés et astuces sur l’espérance et la variance. Tu pourras même t’entraîner avec un exercice corrigé à la fin de cet article !
Qu’est-ce que l’espérance en mathématiques ?
L’espérance d’une variable aléatoire correspond à la somme de toutes les valeurs possibles d’une variable aléatoire multipliée par leur probabilité respective. L’espérance peut donc être définie comme la moyenne des probabilités de l’ensemble des évènements de cette variable ou expérience aléatoire.
En effet, pour une variable aléatoire \( X \), l’espérance \( \displaystyle E(X) \) est la valeur moyenne que l’on peut s’attendre à obtenir si l’expérience \( X \) est répétée une infinité ou un grand nombre de fois.
On va traduire cette définition en langage mathématique avec une variable aléatoire donnée. Si on choisit la variable aléatoire \( X \) prenant les valeurs \( \displaystyle x_1, x_2, \dots, x_n \) dont les probabilités respectives de chacune de ces valeurs sont données par \( \displaystyle p_1, p_2, \dots, p_n \). Ainsi, l’espérance de la variable discrète \( X \) est donnée par :
\[ \displaystyle E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i \]
Pour une variable aléatoire continue X avec sa fonction de densité \( f(x) \), la définition est similaire, mais inclut la notion d’intégrale. On obtient alors :
\[ \displaystyle E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \, dx \]
Un exemple pour mieux comprendre l’espérance en mathématiques
Prenons un exemple pour mieux comprendre cette définition de l’espérance. Si on pose X l’expérience aléatoire correspondant aux valeurs que l’on peut obtenir en lançant un dé équilibré (avec des probabilités identiques). Les valeurs possibles sont donc \( 1, 2, 3, 4, 5, 6 \) et comme le dé est équilibré, chaque valeur a une probabilité de \( \displaystyle \frac{1}{6} \) d’apparaître. L’espérance de cette variable \( X \) est donc donnée par :
\[
\displaystyle E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3.5
\]
L’espérance de cette variable X est donc environ égale à 2,92.
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Qu’est-ce que la variance en mathématiques ?
La variance d’une variable aléatoire permet de mesurer la dispersion des valeurs cette variable aléatoire, autrement dit, la variance va nous permettre de savoir si les valeurs sont très éloignées de la moyenne d’une variable aléatoire.
Si la variance est élevée, alors les valeurs seront très dispersées, tandis que plus la variance sera faible, plus les valeurs seront proches de la moyenne.
Tu l’as compris, pour obtenir la variance, on va donc utiliser l’espérance ! En effet, mathématiquement, grâce aux travaux de König-Huygens, la variance d’une variable aléatoire \( X \) est donnée par :
\[
\displaystyle V(X) = E\left[(X – E(X))^2\right] = E(X^2) – (E(X))^2 = \sum_{i=1}^{n} (x_i – E(X))^2 \cdot p_i \]
Un exemple pour mieux comprendre la variance en mathématiques
Prenons à nouveau notre exemple de la variable aléatoire \( X \) correspondant aux valeurs possibles d’un dé équilibré. On va donc s’appuyer sur l’espérance pour calculer la variance et on obtient grâce à la troisième formule :
\[
\displaystyle V(X) = (1 – 3.5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (2 – 3.5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (3 – 3.5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (4 – 3.5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (5 – 3.5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (6 – 3.5)^2 \cdot \frac{1}{6} \]
\[
\displaystyle V(X) = 6.25 \cdot \frac{1}{6} + 2.25 \cdot \frac{1}{6} + 0.25 \cdot \frac{1}{6} + 0.25 \cdot \frac{1}{6} + 2.25 \cdot \frac{1}{6} + 6.25 \cdot \frac{1}{6} \]
\[ V(X) = \frac{6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25}{6} = \frac{17.5}{6} \approx 2.92 \]
La variance de cette variable X est donc environ égale à 2,92.
⚠️ Attention à ne pas faire d’erreur de rédaction dans tes calculs, surtout dans les matières scientifiques !⚠️
Propriétés sur l’espérance et la variance en mathématiques
Linéarité de l’espérance et sur la variance
L’espérance est linéaire, autrement dit, lorsqu’on va multiplier une variable aléatoire par une valeur, le résultat de l’espérance correspondre à l’espérance de cette variable multiplier par la valeur. Mathématiquement, si on choisit deux variables aléatoires \( X \) et \( Y \), et deux valeurs \( a \) et \( b \), on a donc :
\[
\displaystyle E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) \]
🚨 La variance n’est pas linéaire ! Mais il existe toutefois deux formules permettant de passer de la variance de variables multipliées par une valeur à un résultat avec des variances, mais l’une de ces formules implique la notion de covariance. On a ainsi les deux formules suivantes (la formule la plus importante est la première) :
Si on choisit deux variables aléatoires \( X \) et \( Y \), et deux valeurs constantes \( a \) et \( b \), on a donc :
\[
\displaystyle V(aX) = a^2 \cdot V(X) \]
\[
\displaystyle V(aX + bY) = a^2 \cdot V(X) + b^2 \cdot V(Y) + 2ab \cdot \text{Cov}(X, Y) \]
L’espérance et la variance d’une variable constante
L’espérance d’une variable constante est égale à la valeur de cette variable. En effet, si on a \( X = b \) alors, inévitablement, la probabilité d’obtenir la valeur \( b \) sera de 1. Donc, on obtiendra :
\[
\displaystyle E(X) = 1 \times b = b \]
Au contraire, la variance d’une variable constante sera toujours nulle. Ainsi, dans notre exemple, on a :
\[
\displaystyle V(X) = 0 \]
Variance de la somme de variables aléatoires indépendantes
Si \( X \) et \( Y \) sont deux variables aléatoires indépendantes, alors la variance de la somme de ces variables aléatoires est égale à la somme de leur variance, autrement dit :
\[ \displaystyle V(X+Y) = V(X) + V(Y) \]
Applications de l’espérance et la variance en mathématiques
Maintenant que tu connais les définitions et les propriétés de l’espérance et de la variance en mathématiques, il est temps de voir quelques applications concrètes avec deux lois de probabilités que tu retrouveras souvent au lycée et en post bac : la loi de Bernoulli et la loi binomiale.
Pour une loi de Bernoulli
Il faut d’abord commencer par rappeler qu’une variable aléatoire \( X \) suit une loi de Bernoulli de paramètre \( p \) lorsque cette variable \( X \) ne peut prendre que deux valeurs \( 0 \) ou \( 1 \) et qu’elle prend la valeur 1 avec une probabilité de \( p \) et la valeur 0 avec une probabilité de \( 1 – p \).
\( \displaystyle \text{On a donc : } P(X=1) = p \quad \text{et} \quad P(X=0) = 1 – p \)
Autrement dit, l’espérance d’une variable suivant une loi de Bernoulli est donc :
\( \displaystyle E(X) = 1 \times p + 0 \times (1 – p) = p \)
Or, avec une loi de Bernoulli, on a \( X^2 = X \), on obtient donc à nouveau grâce à la formule de König-Huygens :
\( \displaystyle V(X) = E(X^2) – \left( E(X) \right)^2 \)
\( \displaystyle V(X) = p – p^2 = p(1-p) \)
Donc l’espérance est toujours donnée par \( \displaystyle E(X) = p \) et \( \displaystyle V(X) = p(1-p) \)
Pour la loi binomiale
Une variable suit une loi binomiale de paramètre \( n \) et \( p \) si elle correspond à la répétition de \( n \) épreuves identiques et indépendantes d’une épreuve de Bernoulli de paramètre p.
Après calcul avec les formules (que tu connais désormais), on obtient que l’espérance et la variance d’une variable suivant une loi binomiale sont toujours données par :
\[
\displaystyle E(X) = n \times p \]
\[
\displaystyle V(X) = n \times p (1 – p) \]
Exercices d’entraînement sur l’espérance et la variance en mathématiques
Soit \( X \) une variable aléatoire discrète qui prend les valeurs \( 1,2,3 \) avec les probabilités respectives \( \frac{1}{5} \) \( \frac{1}{2} \) \( \frac{3}{10} \). Calcule l’espérance et la variance de \( X \).
Correction de l’exercice sur l’espérance et la variance en mathématiques
D’après l’énoncé, on a :
\( \displaystyle P(X=1) = \frac{1}{5} \)
\( P(X=2) = \frac{1}{2} \)
\( P(X=3) = \frac{3}{10} \)
On rappelle la formule de l’espérance et on remplace avec les valeurs données :
\( E(X) = \sum_{i} x_i P(X = x_i) \)
\( \displaystyle E(X) = 1 \times \frac{1}{5} + 2 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{3}{10} \)
\( \displaystyle E(X) = \frac{21}{10} \)
Donc l’espérance de cette variable \( X \) vaut \( \displaystyle \frac{21}{10} \)
Pour la variance, on commence par rappeler la formule du cours :
\[
\displaystyle V(X) = E(X^2) – (E(X))^2 \]
Or \( \displaystyle E(X^2) = 1^2 \times \frac{5}{1} + 2^2 \times \frac{2}{1} + 3^2 \times \frac{10}{3} \)
\( \displaystyle E(X^2) = \frac{2}{10} + \frac{20}{10} + \frac{27}{10} = \frac{49}{10} \)
D’autre part, on a \( E(X)^2 \) :
\( \displaystyle E(X)^2 = \left( \frac{21}{10} \right)^2 = \frac{441}{100} \)
On a donc avec la formule :
\( \displaystyle V(X) = \frac{49}{10} – \frac{441}{100} \)
\( \displaystyle V(X) = \frac{490}{100} – \frac{441}{100} = \frac{49}{100} \)
La variance de cette variable aléatoire \( X \) est donc égale à \( \displaystyle \frac{49}{100} \)
Ce que tu dois retenir sur l’espérance et la variance en mathématiques
Voilà, tu connais maintenant tout sur l‘espérance et la variance ! Tu es désormais capable de donner sa définition ainsi que ses propriétés et tu peux effectuer différentes opérations avec l’espérance et la variance ! Tu t’es même entraîné avec un exercice sur ces deux notions. J’espère que cet article t’a plu. Tu peux retrouver ici toutes nos autres ressources mathématiques et lire cet article sur les techniques de conversion des unités de longueur !
