Dans cet article, nous allons travailler ensemble sur une notion fondamentale en mathématiques : la valeur absolue ! Tu vas retrouver cette notion dans de nombreux concepts et théorèmes mathématiques, il est donc primordial de la comprendre et de savoir l’utiliser. Cet article est justement là pour te permettre de maîtriser toutes les propriétés de la valeur absolue et de sa fonction. Tu pourras même t’entraîner avec deux exercices corrigés en fin de cet article !
Qu’est-ce qu’une valeur absolue ?
La valeur absolue désigne « la valeur numérique d’un nombre, qu’importe son signe (positif ou négatif) » (définition dictionnaire français). On note la valeur absolue sous la forme \( |x| \). La valeur absolue d’un nombre revient donc à sa valeur positive. Autrement dit, si ce nombre est négatif, on prend son opposé ! Et si ce nombre est positif alors sa valeur absolue correspondra à ce nombre. On a donc sous formulation mathématique :
\begin{align*}
\text{Si } x \geq 0, &\text{ alors } |x| = x. \\
\text{Si } x < 0, &\text{ alors } |x| = -x.
\end{align*}
Prenons quelques exemples pour comprendre cette définition :
\begin{align*}
|5| &= 5 \\
|-3| &= 3 \\
\end{align*}
La valeur absolue est souvent utilisée en géométrie, notamment pour mesurer la distance entre deux points. En effet, si on choisit arbitrairement deux points sur une droite : A et B de coordonnées respectives a et b. Alors la distance entre les points A et B est égale à \( \left| a – b \right| \)
Tu as besoin d’un petit coup de pouce sur les racines carrées ? Jette un coup d’œil à notre article sur tout ce qu’il faut savoir sur les racines carrées
Propriétés de la valeur absolue
Valeur nulle
L’unique valeur dont la valeur absolue est égale à zéro est zéro. On a donc:
\( \displaystyle |x| = 0 \iff x = 0 \)
Non négativité
Comme tu l’as compris, la valeur absolue d’un nombre (quel que soit ce nombre) renvoie toujours un nombre positif. On a donc:
\( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, \ |x| \geq 0 \)
Fais toujours attention à ta façon de rédiger en mathématiques ! Tu peux d’ailleurs lire cet article pour améliorer ta rédaction dans les matières scientifiques.
Multiplication et division
Pour la multiplication de deux valeurs absolues, la règle est simple : la valeur absolue du produit de deux nombres correspond au produit des valeurs absolues. Autrement dit :
\( |x \cdot y| = |x| \cdot |y| \)
Pour la division, on a de même : la valeur absolue d’un quotient de deux nombres correspond au quotient des valeurs absolues. Attention, comme pour chaque division, elle n’est possible si et seulement si le dénominateur est différent de 0, d’où :
SI \( \displaystyle y \neq 0 : \quad \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} \)
Puissance de valeur absolue
Les règles des valeurs absolues se ressemblent ! Ainsi, une puissance appliquée à une valeur absolue est égale à la valeur absolue d’une puissance :
\( \forall n \geq 0, \ |x|^n = |x^n| \)
Parité
La valeur absolue permet donc de passer d’un nombre négatif à un résultat positif. Ainsi :
\( \forall x \in \mathbb{R}, \ | -x | = | x | \)
Inversibilité
La valeur absolue d’une valeur absolue d’un nombre reste égale à la valeur absolue de ce nombre (cette dernière étant alors positive): \( ||x|| = |x| \)
L’inégalité triangulaire
L’inégalité triangulaire est une formule essentielle concernant les valeurs absolues. Elle stipule que :
\( \displaystyle \forall x, y \in \mathbb{R}, \ |x + y| \leq |x| + |y| \).
On a aussi: \( |x – y| \geq ||x| – |y|| \)
Ces formules sont particulièrement utiles en géométrie, mais tu les retrouveras aussi dans tes études supérieures notamment en classes préparatoires : tu peux jeter un oeil à cet article qui t’en apprend plus sur les prépas !
Propriétés de la fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue s’écrit: \( f(x) = |x| \text{ est définie pour tout } x \in \mathbb{R} \text{ par : } |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} \)
- La fonction valeur absolue est définie pour tous les \( x \in \mathbb{R} \).
- La fonction valeur absolue est décroissante sur \( ]-\infty, 0] \) et strictement croissante sur \( [0, +\infty[ \)
- La fonction valeur absolue est continue sur tout \( \mathbb{R} \).
- Comme \( \ | -x | = | x | \), la fonction valeur absolue est donc paire.
- La limite de la fonction \( |x| \) en \( +\infty \) est : \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} |x| = +\infty \).
- La limite de la fonction \( |x| \) en \( -\infty \) est aussi \( +\infty \) : \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} |x| = +\infty \)
Représenter la fonction valeur absolue
Pour tous les \( x \in \mathbb{R} \), on définit la fonction valeur absolue par :
\(f(x) = |x|, \) où \( x \) est un nombre réel et \( f(x) \) représente la valeur absolue de \( x \).
Pour tracer cette fonction, on s’appuie sur ses propriétés (que tu connais désormais), sur son tableau de variation, mais on peut aussi déterminer les coordonnées de quelques points de la courbe.
Ici on choisit les points A de coordonnées (2;2), B de coordonnées (6;6) et les points C de coordonnées (-4;4) et D de coordonnées (-6;6). On a donc:
Graphique généré avec GeoGebra
Exercices d’entraînement
Exercice 1 : Calculs simples avec des valeurs absolues
Trouve les résultats des calculs suivants :
- \( |-7| + |2| \)= …
- \( |4 – 9| \) = …
- \( |0| + |-6| \) = …
Et résous l’égalité suivante :
- \( |x| = 8 \)
Exercice 2: Calcul complexe de valeurs absolues
Trouve les résultats des calculs suivants :
- \( 2 \times (-3)| + |4 \times 5| \)
- \( \displaystyle \left| \frac{-8}{2} \right| + \left| \frac{10}{-5} \right| \)
Et résous l’égalité et l’inégalité suivante :
- \( |2x – 3| = 5 \)
- \( |x + 3| > 7 \)
Correction des exercices
Corrigé Exercice 1
Pour ce premier exercice, on a d’abord :
- \( |-7| + |2| \)= 7 + 2 = 9
- \( |4 – 9| \) = \( |- 5| \) = 5
- \( |0| + |-6| \) = 0 + 6 = 6
Et pour la résolution de l’équation :
- \( |x| = 8 \) alors x = 8 ou x = – 8 (car la valeur absolue renvoie une valeur positive)
Corrigé Exercice 2
D’abord, pour \( |2 \times (-3)| + |4 \times 5| \), on résonne par étapes et on a :
- \( |2 \times (-3)| = |-6| = 6 \)
- \( |4 \times 5| = |20| = 20 \)
- Donc, \( |2 \times (-3)| + |4 \times 5| = 6 + 20 = 26 \)
De même, pour \( \displaystyle \left| \frac{-8}{2} \right| + \left| \frac{10}{-5} \right| \), on a :
- \( \left| \frac{-8}{2} \right| = |-4| = 4 \)
- \( \left| 10 – 5 \right| = |-2| = 2 \)
- Donc, \( \displaystyle \left| \frac{-8}{2} \right| + \left| \frac{10}{-5} \right| = 4 + 2 = 6 \)
Pour \( |2x – 3| = 5 \) alors on a deux cas différents en fonction de la définition de la valeur absolue :
- Si \( 2x-3 \geq 0 \), alors on a \( 2x – 3 = 5 \quad \Leftrightarrow \quad 2x = 8 \quad \Leftrightarrow \quad x = 4 \)
- Si \( 2x-3 < 0 \), alors on a \( 2x – 3 = -5 \quad \Leftrightarrow \quad 2x = -2 \quad \Leftrightarrow \quad x = -1 \)
L’ensemble des solutions de cette équation est donc \( \{-1, 4\} \).
De même, pour \( |x + 3| > 7 \), on sépare en deux cas différents :
- Si \( x+3 \geq 0 \), alors on a \( x + 3 > 7 \quad \Leftrightarrow \quad x > 4 \)
- Sinon, \( x + 3 < -7 \quad \Leftrightarrow \quad x < -10 \)
L’ensemble des solutions de cette inéquation est donc la réunion \( x \in (-\infty, -10) \cup (4, +\infty) \)
Conclusion
Voilà, tu connais maintenant tout sur la valeur absolue ! Tu es désormais capable de donner sa définition ainsi que ses propriétés et même de représenter sa courbe sur un graphique ! J’espère que cet article t’a plu. Tu peux retrouver ici toutes nos autres ressources mathématiques et lire ce super article sur les techniques de conversion des unités de longueur !
