Dans cet article, nous allons travailler ensemble sur une notion fondamentale en mathématiques : la racine carrée ! Tu vas retrouver cette notion dans de nombreux concepts et théorèmes mathématiques, il est donc primordial de la comprendre et de savoir l’utiliser. Cet article est justement là pour te permettre de maîtriser toutes les propriétés de la racine carrée et de sa fonction. Tu pourras même t’entraîner avec deux exercices corrigés en fin de cet article !
Qu’est-ce qu’une racine carrée ?
La racine carrée d’un réel positif \( x \) désigne le nombre dont le carré donne \( x \). Ainsi, la racine carrée de \(x\) est le nombre \(y\) tel que \(y^2 = y \times y = x\). Prenons quelques exemples pour mieux comprendre cette définition :
- La racine carrée de 9 est 3, car \( 3 \times 3 = 9 \)
- La racine carrée de 16 est 4, car \( 4 \times 4 = 16 \)
Mais on a aussi : \( \sqrt{2} \approx 1.414 \).
On note la racine carrée à l’aide du symbole \(\sqrt{x}\). Ainsi, on a donc :
- \(\sqrt{9} = 3\) et \(\sqrt{16} = 4\)
- \( \sqrt{25} = 5, \) car \( 5 \times 5 = 25 \)
Tu te demandes sûrement si on peut calculer la racine carrée d’un nombre négatif. La réponse est non. En effet, il est impossible d’obtenir un nombre négatif par le carré d’un nombre positif ou négatif. La racine carrée de – 16 n’existe donc pas, car \( -4 \times -4 = 16 \).
Toutefois, tu pourras rencontrer, en mathématiques expertes, la notion de nombres complexes, où la racine carrée d’un nombre négatif est possible. Par exemple, la racine carrée de \(-1\) est notée \(i\).
Propriétés de la racine carrée
La racine carrée d’un produit
Il faut que tu retiennes que la racine carrée du produit est égale au produit des racines carrées. Ainsi, si a et b sont deux nombres positifs, la racine carrée du produit \( a \times b \) est égale au produit des racines carrées de a et de b. On a donc :
\( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)
Par exemple 144 = \( 9 \times 16 \), donc :
\( \sqrt {144} = \sqrt{9} \times \sqrt{16} = 3 \times 4 = 12 \)
La racine carrée d’un quotient
Dans une logique similaire, la racine carrée d’un quotient peut être exprimée comme le quotient des racines carrées. Ainsi, si \(a\) et \(b\) sont deux nombres positifs, la racine carrée du quotient \(\frac{a}{b}\) est égale au quotient des racines carrées de \(a\) et de \(b\). On a donc :
\(
\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
\)
Par exemple, comme \( \sqrt{49} = 7 \) et \( sqrt{64} = 8 \), on a :
\( \displaystyle \sqrt{\frac{49}{64}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}} = \frac{7}{8} \)
Propriétés de la fonction racine carrée
- La fonction racine carrée est définie pour tous les \( x \geq 0 \).
- La fonction racine carrée est strictement croissante sur l’ensemble \( R \). Ainsi, la fonction racine carrée augmente à mesure que \( x \) augmente.
- La fonction racine carrée est continue sur son domaine.
- La limite de la fonction \( \sqrt{x} \) en \( +\infty \) est \( +\infty \)
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty \). - La limite de la fonction \( \sqrt{x} \) lorsque \( x \) tend vers 0 par des valeurs positives, tend aussi vers 0
\( \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0 \).
Représenter la fonction racine carrée
Pour tous les \( x \geq 0 \), on définit la fonction racine carrée par :
\( f(x) = \sqrt{x} \), où \( x \) est un nombre réel positif et \( f(x) \) est la racine carrée de \( x \).
Pour tracer cette fonction, on s’appuie sur ses propriétés (que tu connais désormais), sur son tableau de variation, mais on peut aussi déterminer les coordonnées de quelques points de la courbe.
Ici on choisit les points A de coordonnées (4;2) et B de coordonnées (9;3). On a donc :
Graphique généré avec GeoGebra
Astuces pour les calculs avec la racine carrée
Les carrés parfaits
Les carrés parfaits sont les nombres qui ont une racine carrée entière. Tu peux donc apprendre la liste des carrés parfaits ci-dessous afin d’aller plus vite dans tes calculs :
\( \begin{align*}
\sqrt{1} &= 1 \\
\sqrt{4} &= 2 \\
\sqrt{9} &= 3 \\
\sqrt{16} &= 4 \\
\sqrt{25} &= 5 \\
\sqrt{36} &= 6 \\
\sqrt{49} &= 7 \\
\sqrt{64} &= 8 \\
\sqrt{81} &= 9 \\
\sqrt{100} &= 10 \\
\sqrt{121} &= 11
\end{align*}
\)
Racines carrées des nombres entre les carrés parfaits
Si tu veux trouver la racine carrée d’un nombre qui se trouve entre deux carrés parfaits, tel que la racine carrée de 20 entre 16 ( \( \sqrt{16} = 4 \) ) et 25 ( \( \sqrt{25} = 5 \) ), tu peux estimer que la racine carrée est donc entre les résultats de ces deux carrés parfaits. La racine carrée de 20 est donc entre 4 et 5.
La racine carrée du carré d’un nombre négatif
La racine carrée du carré d’un nombre négatif est égale à la valeur absolue de ce nombre. En effet, la racine carrée du carré d’un nombre négatif est égale à la racine carrée du carré du nombre positif, elle-même égale à ce nombre. En d’autres termes, si tu prends un nombre négatif \( – a\), on a alors \( \sqrt{(-a)^2} = \sqrt{a^2} = |a| \).
Par exemple, \( \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{5^2} = 5 \).
Racine carrée et fonction puissance
En réalité, la racine carrée d’un nombre est un cas particulier de la fonction puissance. On a donc :
\( \displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}} \)
Exercices d’entraînement
Maintenant que tu connais les propriétés de la racine carrée et de sa fonction. Tu peux t’entraîner, pour être sûr de les avoir compris, avec les deux exercices suivants de difficultés progressives. Un conseil: prends bien le temps de calculer chaque racine !
Exercice 1 : Additions et soustractions de racines carrées
Trouve la valeur de l’expression suivante (attention : il restera une racine dans le résultat final) :
\( \sqrt{36} + \sqrt{25} + \sqrt{18} \)
Exercice 2 : Calcul complexe de racines carrés
Trouve la valeur de l’expression suivante :
\( \displaystyle \frac{\sqrt{50} + \sqrt{18}}{\sqrt{2}} \)
Correction des exercices
Pour le premier exercice, il faut y aller étape par étape. Il faut d’abord trouver la racine carrée de 36 et la racine carrée de 25. Comme on connaît par cœur nos carrés magiques, on trouve aisément 6 et 5. Pour la racine de 18, il faut utiliser la propriété du produit de racine. On a donc \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3 \sqrt{2} \). En additionnant les résultats obtenus, on a donc :
\( \sqrt{36} + \sqrt{25} + \sqrt{18} = 6 + 5 + 3 \sqrt{2} \)
La valeur de l’expression est donc \( 11 + 3 \sqrt{2} \).
Pour le second exercice, il faut là aussi y aller étape par étape (en mathématiques, rien ne sert de se presser ! ). On simplifie d’abord chaque racine :
- \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \)
- \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \)
On additionne alors les termes au numérateur: \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)
On remplace alors dans l’expression initiale et on trouve:
\( \displaystyle \frac{\sqrt{50} + \sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8 \)
L’expression est donc égale à \( 8 \).
Conclusion
Voilà, tu connais maintenant tout sur la racine carrée ! Tu es désormais capable de donner sa définition ainsi que ses propriétés et même de représenter sa courbe sur un graphique ! J’espère que cet article t’a plu. Tu peux retrouver ici toutes nos autres ressources mathématiques.
