Fonction Puissance

Tout savoir sur la fonction puissance

À lire dans cet article :

Si tu es en terminale ou si tu veux continuer les mathématiques après le baccalauréat, cet article te permettra d’approfondir la notion de la fonction puissance, normalement tu as déjà vu la fonction puissance pour les nombres entiers, mais pas pour les nombres réels. Cet article va donc te permettre d’en savoir plus sur cette fonction.

Définition de la fonction puissance

On appelle fonction puissance d’exposant α, la fonction définie pour tout réel α et \( x > 0 \), \( f: x \rightarrow x^\alpha = e^{\alpha \ln(x)} \).

Voici quelques propriétés et exemples de cette fonction

– La fonction puissance est définie pour tout réel \( x > 0 \) et pour tout réel α.
– La monotonie de la fonction \( x \rightarrow x^a \) dépend de la valeur de α :
– Si α > 0, alors la fonction est strictement croissante.
– Si α < 0, la fonction est strictement décroissante.
– Si α = 0, la fonction est constante égale à 1.
– La fonction puissance est continue sur son domaine de définition.
– La fonction puissance est dérivable sur son domaine de définition. La dérivée de la fonction puissance est donnée par \( f'(x) = \alpha x^{\alpha-1} \). Cette formule peut être obtenue en utilisant les règles de dérivation et la propriété de la dérivée de \( \ln(x) \).

Démonstration :
\( x \rightarrow \ln(x) \) est dérivable sur \( \mathbb{R}^{+*} \), ainsi par composition, \( f \) est dérivable sur \( \mathbb{R}^{+*} \).
\(\forall x \in \mathbb{R}^{+*} \), \( f'(x) = \frac{\alpha}{x} e^{\alpha \ln(x)} = \frac{\alpha}{x} x^\alpha = \alpha x^{\alpha-1} \).

– Pour \( \alpha = 2 \), la fonction \( f(x) = x^2 \) est une parabole ouverte vers le haut.
– Pour \( \alpha = \frac{1}{2} \), la fonction \( f(x) = \sqrt{x} \) est la fonction racine carrée.
– Pour \( \alpha = -1 \), la fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) est la fonction inverse.
– Pour \( \alpha = -2 \), la fonction \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) est une parabole ouverte vers le bas.
– Pour \( \alpha = 0 \), la fonction \( f(x) = 1 \) est une fonction constante.

Ces exemples illustrent comment différentes valeurs de \( \alpha \) affectent la forme et le comportement de la fonction puissance.

À toi de jouer

Exercice d’application n°1

Soit \( f \) la fonction définie sur \( ]0;+\infty[ \) par \( f:x \mapsto x^x \). On admet que \( f \) est dérivable sur \( ]0;+\infty[ \).

  1. Montrer que \( x^x > 0 \).
  2. Calculer les limites aux bornes.
  3. Étudier les variations de \( f \).

Correction

1.

Dans cette première question, il s’agit d’appliquer la définition de la fonction puissance, sinon nous ne pouvons pas étudier la fonction correctement :

\[
\forall x \in ]0;+\infty[, f(x) = x^x = e^{x \ln(x)}.
\]

\( e^{x \ln(x)} > 0 \), car une fonction exponentielle est toujours positive.

Ainsi, pour tout réel \(\ x >0 \), \(\ x^x > 0 \).

2. \[
\lim_{x \to 0^+} e^{x \ln(x)} = e^0 = 1, \quad \text{car} \quad \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0, \]

d’après le théorème des croissances comparées.

\[
\lim_{x \to +\infty} e^{x \ln(x)} = +\infty, \quad \text{par produit et composition}.
\]

3. \[
\forall x \in ]0;+\infty[, f'(x) = (\ln(x) + 1) e^{x \ln(x)}.
\]

Or, \[
\forall x \in ]0;+\infty[, \ln(x) + 1 > 0 \Leftrightarrow \ln(x) > -1 \Leftrightarrow x > e^{-1}.
\] Donc, \[
\forall x \in ]0;+\infty[, e^{x \ln(x)} > 0 \quad \text{d’où} \quad \forall x \in ]e^{-1};+\infty[, (\ln(x) + 1)e^{x \ln(x)} > 0.
\]

Donc \( f \) est décroissante sur \( ]0;e^{-1}[ \) et croissante sur \( ]e^{-1};+\infty[ \).

Exercice d’application n°2

Montrer \( \lim_{x \to +\infty}  (1+ \frac{1}{x})^x = e \).

💡 C’est un exercice est assez complexe si tu es un élève de terminale, mais c’est tout de même un très bon exercice si tu souhaites t’entraîner pour le baccalauréat ou si tu veux continuer les mathématiques dans l’enseignement supérieur.

Correction

Étape 1 : Application de la définition de la fonction puissance.

La première étape est d’appliquer la définition de la fonction puissance :

\[
\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e^{x \ln(1 + \frac{1}{x})}
\]

Étape 2 : Calculer une limite à l’aide d’une composition

Ensuite, on pose \( h = \frac{1}{x} \).

\[
e^{x \ln(1 + \frac{1}{x})} = e^{\frac{\ln(1+h)}{h}}.
\]

Or \( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \) , alors \( \lim_{h \to + 0} \frac{\ln(h+1)}{h} =1 \)

⚠️ Le détail du calcul de cette limite est ci-dessous, si tu n’as pas compris, tu peux toujours aller voir mon dernier article afin de savoir comment lever une indétermination grâce au taux d’accroissement.

Étape 2 bis : Calculer \( \lim_{h \to + 0} \frac{\ln(h+1)}{h} =1 \)

On sait que si \( f \) est dérivable en \( \alpha \) alors :

\[
\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a).
\]

\( f \) est la fonction définie sur \( ]0,+∞[ \) par \( f:x \mapsto \ln(x) \).

La fonction logarithme est dérivable sur \( ]0;+\infty[ \) donc en 1, ainsi :

\[
\forall x \in ]0;+\infty[, f'(x) = \frac{1}{x} \quad \text{donc} \quad f'(1) = \frac{1}{1}.
\]

Étape 3 : Conclure

\[
\lim_{h \to 0} e^{\frac{\ln(1+h)}{h}} = e^1 = e, \quad \text{par composition et par continuité de la fonction exponentielle en 0}.
\]

Conclusion : \( \lim_{x \to +\infty} (1+\frac{1}{x})^x = e \)

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