Dans cet article, nous te proposons une démonstration de la dérivée de la fonction \(\ln\) très détaillée et parfaitement rédigée.
Pour rappel, \(\forall x \in \mathbb R^*_+, ln'(x)=\frac{1}{x}\).
Cette démonstration se faire dans le cas où l’on admet au préalable la dérivabilité de la fonction \(\ln\)
Il s’agit d’une des démonstrations exigibles du bac (aussi appelée une “ROC” : restitution organisée de connaissances), donc à bien connaître !
Pour consulter les autres démonstrations exigibles, tu peux te référer à cet article.
Énoncé de la dérivée de la fonction \(\ln\) (logarithme népérien)
On admet la dérivabilité de la fonction \(\ln\) sur \(\mathbb R^*_+\)
Démontrer que : \(\forall x \in \mathbb R^*_+, ln'(x)=\frac{1}{x}\).
Aide à la résolution – préliminaire
On rappelle les formules et résultats suivants :
- \(\forall x \in \mathbb R^*_+, e^{ln(x)}=x\)
- Pour toutes fonctions \(u\) et \(v\), on a \((u \circ v)’=v’ \times (u’ \circ v)\) (dérivée d’une composée)
Démonstration de la dérivée de la fonction \(\ln\) (logarithme népérien)
Soit \(x \in \mathbb R^*_+\)
On a :
\( e^{\ln(x)}=x\), d’où d’après la formule de dérivée d’une composée, en dérivant membre à membre cette égalité :
\(\ln'(x) e^{\ln(x)}=1\), et donc :
\(\ln'(x) x=1\), d’où comme \(x \ne 0 \) :
\(\ln'(x)=\frac{1}{x}\)
Ainsi :
\[\fbox{\(\forall x \in \mathbb R^*_+, \ln'(x)=\frac{1}{x}\)}\]
Intérêt de la dérivée de la fonction \(\ln\)
Son intérêt est simple et classique, pouvoir calculer le signe de la dérivée d’une fonction permet d’en étudier ses variations !
En l’occurrence, ici on se rend compte que :
\(\forall x \in \mathbb R^*_+, \frac{1}{x} \ge 0\), donc
\(\forall x \in \mathbb R^*_+, \ln'(x) \ge 0\)
donc \(\ln’\) est positive sur \(\mathbb R^*_+\), donc \(\ln\) est croissante sur \(\mathbb R^*_+\)
Écueils à éviter dans cette démonstration
- Attention, cet écueil est très important ! Ne pas faire dans démonstration sur \(\mathbb R^*_+\) mais sur \(\mathbb R\). Cela rend la démonstration totalement fausse ! en effet, la fonction \(\ln\) n’est définie que sur \(\mathbb R^*_+\).
- Se tromper sur la formule de la composée de dérivées \((u \circ v)’=v’ \times (u’ \circ v)\)
- Oublier la dérivée de la fonction \(\exp\)
