Quel que soit le niveau de maths que tu as choisi tu seras presque certainement amené à devoir démontrer des propriétés. Voici donc une liste des démonstrations qu’il faut absolument savoir refaire le jour de l’épreuve si tu as pris la spécialité maths.
Pour rappel ROC signifie Restitution Organisée de Connaissances.
Algèbre et géométrie
- Démonstration par dénombrement de \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \) \({n}\choose{k}\)\(= 2^{n}\)
- Démonstration de la relation de Pascal (par le calcul et par une méthode combinatoire) : \({{n}\choose{k}} ={{n+1}\choose{k+1}}+{{n}\choose{k+1}}\)
- Le projeté orthogonal d’un point M sur un plan 𝒫 est le point de 𝒫 le plus proche de M.
- Équation cartésienne du plan normal au vecteur n et passant par le point A.
Démonstrations supplémentaires pour les maths expertes
- Conjugué d’un produit, d’un inverse, d’une puissance entière.
- Formule du binôme.
- Formule \(│z│^2 = z \overline{z}\). Module d’un produit. Module d’une puissance.
- Démonstration d’une des formules d’addition.
- Factorisation de \(z^n – a^n\) par \(z – a\). Factorisation de \(P(z)\) par \(z – a\) si \(P(a) = 0\).
- Le nombre de solutions d’une équation polynomiale est inférieur ou égal à son
degré. - Détermination de l’ensemble \(\mathbb U_n\).
- Écriture du PGCD de \(a\) et \(b\) sous la forme \(ax+by, (x,y) \in \mathbb Z^2\).
- Théorème de Gauss.
- L’ensemble des nombres premiers est infini.
Lire aussi : Un exercice sur les matrices pas à pas (option maths expertes)
Analyse
- Toute suite croissante non majorée tend vers +∞
- Démonstration de l’inégalité de Bernoulli (par récurrence), puis \(\lim \limits_{n \to +\infty} q^{n}\) où \(q^{n}\) est une suite géométrique avec \(q\) un réel.
- Divergence vers \(+\infty\) d’une suite minorée par une suite divergeant vers \(+\infty\).
- Limite en \(+\infty\) et en \(-\infty\) de la fonction exponentielle.
- Croissances comparées de : \(x \mapsto x^{n}\) et \(x \mapsto e^x\) en \(+\infty\)
- Si \(ƒ’’ \ge 0\), alors la courbe représentative de ƒ est au-dessus de ses tangentes.
- Démonstration de \(\forall x \in \mathbb R^*_+, ln(x)’ =\frac{1}{x}\) (la dérivabilité est admise)
- Démontrer que \(\lim \limits_{x \to 0} ln(x)= -\infty\)
- Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
- Résolution de l’équation différentielle \(y ‘ = ay\) où \(a \in\mathbb{R}\)
- Soit \(f\) une fonction positive, croissante sur \([a,b]\), la fonction \(x \mapsto \displaystyle \int_{a}^{b} f(t)\,\mathrm{d}t \) est une primitive de \(f\) .
- Pour toute primitive \(F\) de \(f\) , on a : \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(t)\,\mathrm{d}t = F(b) \,-\, F(a) \)
- Intégration par parties.
Probabilités
- Expression de la probabilité de k succès dans le schéma de Bernoulli, ie
\[\text{Soit}\, X \hookrightarrow \mathcal{B}(p),\, P(X=k)\,=\,p\]
- Espérance et variance de la loi binomiale, ie
\[\text{Soit}\, X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p),\,E(X)\,=\,np\, et\, V(X)\,=\,npq\]
Démonstrations supplémentaires pour les maths expertes
- Expression du nombre de chemins de longueur \(n\) reliant deux sommets d’un graphe à l’aide de la puissance \(n\)-ième de la matrice d’adjacence.
- Pour une chaîne de Markov, expression de la probabilité de passer de l’état \(i\) à l’état \(j\) en \(n\) transitions, de la matrice ligne représentant la distribution après \(n\) transitions.
En plus de ces démonstrations il est essentiel de savoir utiliser parfaitement :
- le raisonnement par récurrence
- le raisonnement par l’absurde et par contraposée
- les équivalences et implications (sans les confondre)
Nous espérons que cette petite liste t’aidera dans tes révisions ou bien à t’orienter si jamais tu n’as pas encore choisi tes spécialités.
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