Dans cet article nous faisons le point avec toi sur la loi de Bernoulli, élément clé de ton programme de spécialité mathématiques. De quoi y voir un peu plus clair !
La loi de Bernoulli tire son nom d’un mathématicien suisse du 17ème siècle, Jacques Bernoulli.
Épreuve de Bernoulli
Ici, on se place dans le cadre des probabilités discrètes.
Une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\) (réel compris entre \(0\) et \(1\)) est une expérience aléatoire (qui n’est donc pas arbitraire puisqu’elle est soumise au hasard) qui comporte seulement deux issues possibles : le succès ou l’échec.
Loi de Bernoulli
La loi de Bernoulli est une loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète. Comme dans toute loi de probabilité, il existe des paramètres. Ici ce sont \(p\) et \(q = 1-p\).
On dit que la variable aléatoire \(X\) suit une loi de Bernoulli si et seulement si :
- \(X(\Omega)=\{0,1\}\).
- \(P(X=1)=p\) et \(P(X=0)=1-p\).
Alors on note que \(X \hookrightarrow\mathcal{B}(p)\).
\(X\) admet alors une espérance et une variance données par :
\[E(X)=p \textrm{ et } V(X)=p(1-p).\]
Par exemple, lorsqu’on veut modéliser mathématiquement un lancer de pièce (équilibrée), la probabilité que la pièce tombe sur pile est de \(\frac {1}{2}\), tout comme la probabilité que la pièce tombe sur face. On peut alors expliquer que c’est la variable aléatoire discrète \(Y\) qui modélise cette expérience. Alors, \(Y(\Omega)=\{0,1\}\) puisque soit la pièce tombe sur pile (issue \(1\)), soit la pièce tombe sur face (issue \(0\)). Si l’on note que tomber sur le pile est le succès, alors \(P(Y=1) = \frac {1}{2}\) et donc \(P(Y=0) = \frac {1}{2}\) puisque \(P(Y=0) = 1 – P(Y=1)\). Alors \(Y\) suit une loi de Bernoulli de paramètres \(p\). Cela s’écrit : \(Y \hookrightarrow\mathcal{B}(\frac{1}{2})\).
Remarque : si \(p = 1\), alors on a \(X \hookrightarrow \mathcal{U}(\{1\})\), \(X\) est constante égale à \(1\). Si \(p = 0\), on a \(X \hookrightarrow \mathcal{U}(\{0\})\), \(X\) est constante égale à \(0\). Si \(p = \frac{1}{2}\), on a \(X \hookrightarrow \mathcal{U}(\{0,1\})\).
Schéma de Bernoulli
On utilise le schéma de Bernoulli lors d’une même expérience, indépendante, répétée plusieurs fois qui admet deux issues : le succès ou l’échec. Avec ce qu’on vient de voir, on peut alors dire qu’on appelle schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\) toute expérience aléatoire consistant à répéter \(n\) fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\).
Pour schématiser la succession de plusieurs expériences de Bernoulli indépendantes, on peut construire un arbre de probabilité comportant à chaque fois seulement 2 rameaux (qui vont donc dédoubler à chaque nouvelle répétition) :
Lien avec la loi Binomiale
Si \(X \hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)\) (c’est-à-dire si \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\)), \(X\) est le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli (une répétition de \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\)).
\(\mathcal{B}(1,p)\) est identique à \(\mathcal{B}(p)\).
