Dans les fiches précédentes, nous avons revu les probabilités discrètes (ici) et les probabilités conditionnelles (ici). Nous allons maintenant revoir les probabilités continues et variables aléatoires à densité. Pour finir de couvrir la partie du programme relative aux probabilités, il ne nous restera plus qu’à revoir les intervalles de fluctuation et de confiance.
Mais qu’y a t-il de différent avec les probabilités discrètes ? Et bien dans ce cas les variables aléatoires avaient un nombre fini de valeur possible. Dans le cas d’un lancé de dé, si \(X\) était la variable aléatoire qui correspondait au nombre obtenu, X appartenait à l’ensemble {1,2,3,4,5,6}. Dans le cas des variables aléatoires à densité, il y a une infinité de valeurs possibles, comme par exemple un intervalle \([a,b]\), ou \(\mathbb{R}\).
Densité de probabilité
On dit que f est une densité de probabilité sur \([a,b]\) si :
- f est continue
- f est positive
- \(\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x =1\)
Si X est variable aléatoire admettant f pour densité de probabilité, l’ensemble des valeurs prises par X et noté \(X(\Omega)\) est
$$ X(\Omega) = \left\{x \in \mathbb{R}/f(x) \geq 0 \right\}$$
Dans le cas des variables aléatoires à densité, les probabilités s’interprètent comme des aires. Il peut donc être intéressant de revoir son cours sur les intégrales avant d’aller plus loin.
La probabilité que \(X \in [a;b]\), correspond à l’intégrale de c à d de la fonction f.
\(\displaystyle P(a \leq X \leq b)= \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \)
Attention ! Puisque les probabilités correspondent à des aires, la probabilité que X prenne une valeur précise est nulle.
On fera donc attention à retenir que pour toutes valeurs de a et b :
- \(P(X=a) = 0 \)
- \(P(a \leq X \leq b) = P(a< X \leq b) = P(a \leq X <b) = P(a<X<b)\)
Fonction de répartition
On appelle fonction de répartition d’une variable aléatoire X admettant f comme densité de probabilité la fonction F définie par
\(\displaystyle F(x) = p([X \leq x]) = \lim\limits_{\lambda \rightarrow -\infty} \int_{\lambda}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t \)
On a alors :
$$ P(a \leq X \leq b) = P(a< X \leq B) = P(a \leq X <b) = P(a<X<b) = P(X <b) – P(X<a) =F(b) – F(a)$$
On peut noter quelques propriétés de la fonction F :
- \(F\) est définie sur \(\mathbb{R}\)
- la fonction est croissante sur \(\mathbb{R}\)
- elle est continue sur \(\mathbb{R}\)
- la fonction est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(F'(x) =f(x)\)
- \(\lim\limits_{ x \rightarrow -\infty} F(x) =0\), \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} F(x) =1\)
Espérance et variance
Tout comme pour les variables aléatoires discrètes, on peut définir une espérance et une variance pour les varaibles aléatoires à densité.
Si \(X\) est une variable aléatoire qui admet f pour densité de probabilité alors :
$$ E(X)= \int_{a}^{b}t f(t) \, \mathrm{d}t $$
$${\displaystyle \mathrm {V} (X)=\int _{a}^{b}(x-\mathbb {E} (X))^{2}\ f(x)\,\mathrm {d} x}$$
Loi uniforme sur un segment
La variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle \([a;b]\) si elle admet la fonction f pour densité de probabilité définie par
$$ f(t)=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{b-a} \text { si } t \in[a, b]} \\ {0 \text { sinon }}\end{array}\right. $$
On note \(X \hookrightarrow \mathcal{U} ([a;b])\). Les lois uniformes sont une généralisation continue des lois uniformes discrètes (comme le lancer d’une pièce ou le lancer d’un dé à 6 faces). Dans le cas discret, on avait un nombre d’issus possibles connu et fini qu’on appelle souvent N. On avait alors :\(P(X)= \frac{1}{N}\). Dans le cas continu, ce nombre d’issu n’est plus dénombrable, on ne cherche pas la probabilité que X prenne une valeurs précise mais que X soit comprise dans un intervalle.
Graphiquement cela correspond à la courbe ci dessous
Démonstration : du fait que f est bien une densité de probabilité :
f est positive et continue sur \([a,b]\) de plus :
$$\begin{array}{ll}
\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t & = \int_{a}^{b} \frac{1}{b-a} \, \mathrm{d}t \\
&= \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} 1\, \mathrm{d}t\\
&= \frac{1}{b-a} [x]_a^b \\
&=1
\end{array}$$
Propriété : La fonction de répartition \(F\) est alors définie par :
$$
F(x)=p(X \leq x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) d t=\left\{\begin{array}{l}{0 \text { si } x<a} \\ {\frac{x-a}{b-a} \text { si } a \leq x \leq b} \\ {1 \text { si } x>b}\end{array}\right.
$$
Démonstration : dans le cas où \(x \in [a;b]\)
$$\begin{array}{ll}
F(x) & = p(X \leq x) \\
& = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t\\
& = \int_{a}^{x} \frac{1}{b-a} \, \mathrm{d}t \\
&= \frac{1}{b-a} \int_{a}^{x} 1\, \mathrm{d}t\\
&= \frac{1}{b-a} [t]_a^x \\
&=\frac{x-a}{b-a}
\end{array}$$
Propriété : X admet alors pour espérance
$$E(X) = \frac{a+b}{2} $$
Démonstration :
$$\begin{array}{ll}
E(X) & = \int_{-\infty}^{+\infty} t f(t) \, \mathrm{d}t\\
& = \int_{a}^{b} t \frac{1}{b-a} \, \mathrm{d}t\\
& = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} t \, \mathrm{d}t\\
& = \frac{1}{b-a}[\frac12 t^2]_a^b\\
& =\frac{b+a}{2}\\
\end{array}$$
Pour simplifier à la fin on utilise l’identité remarquable \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
Propriété : La variance vaut elle
$$V(x) = \frac{(b-a)^2}{12}$$
Exemple : si \(X \hookrightarrow \mathcal{U} ([0;3])\)
alors on a :
$$ f(t)=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3} \text { si } t \in[0;3]} \\ {0 \text { sinon }}\end{array}\right. $$
$$
F(x)=p(X \leq x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) d t=\left\{\begin{array}{l}{0 \text { si } x<a} \\ {\frac{x}{3} \text { si } 0 \leq x \leq x} \\ {1 \text { si } x>3}\end{array}\right.
$$
Par exemple \(p(X \leq 2) = \frac{2}{3}\) \(p(1 \leq X \leq 2) = p(X \leq 2) -p(X \leq 1) = \frac{2}{3} – \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\)
$$E(X) = \frac{a+b}{2} = 1,5 $$
$$V(x) = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{3}{4}$$
La loi exponentielle
Soit \(\lambda\) un réel. La variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) si elle admet pour densité de probabilité la fonction f définie par :
$$
f(t)=\left\{\begin{array}{l}{0 \text { si } t<0} \\ {\lambda e^{-\lambda t} \text { si } t \geq 0}\end{array}\right.
$$
On note \(X \hookrightarrow \xi_{\lambda}\). Les lois exponentielles décrivent par exemple assez bien la durée de vie d’un appareil électroménager.
Graphiquement cela correspond à la courbe ci dessous
La fonction de répartition \(F\) est alors définie par :
$$
F(x)=p(X \leq x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) d t=\left\{\begin{array}{l}{0 \text { si } x<0} \\ {1-e^{-\lambda x} \text { si } x \geq 0}\end{array}\right.
$$
Démonstration
$$\begin{array}{ll}
F(x) & =p(X \leq x)\\
& =\int_{-\infty}^{x} f(t) d t\\
& =\int_{0}^{x} \lambda e^{-\lambda t} d t \text{ si x positif, 0 sinon}\\
& = – [e^{-\lambda t}]_0^x\\
& = -(e^{-\lambda x}-e^0)\\
& = 1-e^{-\lambda x}
\end{array}$$
Quelques propriétés de la loi exponetielle :
- \(P(X \geq x) = 1- p(X < x) = e^{-\lambda x}\)
- \(E(X) = \frac{1}{\lambda}\) et \(V(X)=\frac{1}{\lambda^2} \)
- C’est une loi sans mémoire ou sans vieillissement : pour tous réels positifs s et t on a \(P_{[X \geq t]}(X \geq t+s)=P(X \geq s)\)
Démonstration du point 1 :
$$\begin{array}{ll}
p(X \geq a) &= 1- p(X < a)\\
&= 1- F(a)\\
&= 1-(1 – e^{-\lambda a})\\
&= e^{-\lambda a}\\
\end{array}$$
La loi normale
Soient \(\sigma\) et \(\mu\) deux réels.
La variable aléatoire \(X\) suit une loi normale d’espérance \(\mu\) et d’écart type \(\sigma\) si elle admet pour densité de probabilité la fonction \(f\) définie pour tout réel t:
$$
f(t)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-0,5\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^{2}}
$$
On note \(X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu;\sigma^2)\)
Quelques remarques sur cette fonction de densité :
- elle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\)
- elle est symétrique par rapport à \(\mu\), ce qui implique que \(p(X \leq \mu) = p(X \geq \mu) = 0.5\)
- elle est maximale pour \(x=\mu\)
Contrairement aux lois vues précédemment, il n’existe pas d’expression simple pour la fonction de répartition. Il faut donc utiliser la calculatrice pour obtenir des valeurs approchées des probabilités.
Par définition on a :
$$E[X] = \mu$$
$$V(X) = \sigma^2$$
La loi normale centrée réduite
On dit que \(X\) suit une loi normale centrée réduite si \(X\) suit une loi normale d’espérance nulle et d’écart type 1.
On note \(X \hookrightarrow \mathcal{N}(0;1)\)
On a alors :
$$
f(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}t^2}
$$
On a les propriétés suivantes, qu’on peut interpréter grâce à la symétrie de la courbe représentative de la fonction de densité :
$$P(X \leq 0) = P(X \geq 0)= \frac12$$
$$P(X \leq x) = P(X \geq x)$$
Si \(Z \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu; \sigma^2)\) alors on peut se ramener à une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi normale centrée réduite en posant :
$$X = \frac{Z- \mu}{\sigma}$$
Apprenez bien ces formules! Entraînez vous avec des exercices et n’hésitez pas à consulter nos autres fiches d’aide pour le BAC. Pour pouvez également vous entraîner sur des annales de bac le corrigé du bac de maths S 2018 disponible ici . Le sujet de 2019 est disponible avec son corrigé ici.
