Dans cet article, nous allons travailler ensemble sur une notion fondamentale en mathématiques : les suites arithmétiques et géométriques ! Tu vas retrouver des suites dans de nombreux concepts et théorèmes mathématiques, il est donc primordial de les comprendre et de savoir les utiliser. Cet article est justement là pour te permettre de maîtriser toutes les propriétés et astuces autour de ces deux types de suites. Tu pourras même t’entraîner avec un exercice corrigé à la fin de cet article !
Qu’est-ce qu’une suite arithmétique ?
Une suite arithmétique désigne une suite de nombres tel que pour tout entier entier naturel \( n \) :
\[ u_{n+1} = u_n + r \] avec \( r \) la raison de la suite \( u_n \)
En effet, une caractéristique essentielle d’une suite arithmétique est sa constante \( r \), que l’on appelle la raison de la suite et qui appartient à \( \displaystyle \mathbb{R} \). Ainsi, dans une suite arithmétique, pour passer d’un terme à un autre, on ajoute toujours la même valeur \( r \).
Par un exemple, si on prend \( u_0 = 2 \) et que la raison de la suite est égale à 3, donc que \( r = 3 \). On a alors \( u_1 = u_0 + 3 = 2 + 3 = 5 \) puis \( u_2 = 8 \), \( u_3 = 11 \)…
⚠️ Attention à ne pas faire d’erreur de rédaction dans tes calculs, surtout dans les matières scientifiques !
Propriétés d’une suite arithmétique
En mathématiques, tu peux exprimer la formule explicite d’une suite arithmétique, autrement dit, tu peux donner la formule du terme général \( u_n \). Cela est notamment lié à une relation de récurrence que l’on démontrera dans l’un des exercices à la fin de l’article. Ainsi, \( \displaystyle \forall n, p \in \mathbb{N} \) on a :
\[ \displaystyle u_n = u_p + (n-p) \times r \]
Si on reprend la suite arithmétique de notre exemple, on a bien \( \displaystyle u_3 = u_2 + (3 – 2) \times 3 = 8 + 3 = 11 \).
Une autre propriété importante des suites arithmétiques est la formule de la somme des \( n \) termes d’une suite arithmétique. En effet, en mathématiques, on te demandera régulièrement de donner la valeur de la somme des \( n \) premiers termes d’une suite. La formule de la somme, pour les suites arithmétiques, est donc écrite des deux manières suivantes :
\[ \displaystyle S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \frac{(n+1) \times (u_0 + u_n)}{2} \]
\[ \displaystyle S_n = \frac{ \text {(Nombre de terme)} \times \text {(premier terme + dernier terme)} }{2} \]
Qu’est-ce qu’une suite géométrique ?
Une suite géométrique désigne une suite de nombres tel que pour tout entier entier naturel \( n \) :
\[ \displaystyle u_{n+1} = u_n \times q \] avec \( q \) la raison de la suite \( u_n \)
En effet, une caractéristique essentielle d’une suite géométrique est sa constante \( q \), que l’on appelle aussi la raison de la suite et qui appartient à \( \displaystyle \mathbb{R} \). Mais contrairement aux suites arithmétiques, dans une suite géométrique, pour passer d’un terme à un autre, on multiplie toujours par la valeur \( q \).
Par un exemple, si on prend \( u_0 = 1 \) et que la raison de la suite est égale à 3, donc que \( q = 4 \). On a alors \( u_1 = u_0 \times 4 = 1 \times 4 = 4 \) puis \( u_2 = u_1 \times 4 = 4 \times 4 = 16 \), \( u_3 = 16 \times 4 = 64 \), \( u_4 = 256 \)…
Dans cet exemple, tu peux remarquer que les valeurs de la suite sont en réalité les valeurs des puissances de \( 4 \) : \( 4 \), \( \displaystyle 4^2 = 16 \), \( \displaystyle 4^3 = 64 \), \( \displaystyle 4^4 =256 \) …
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Propriétés d’une suite géométrique
Comme pour les suites arithmétiques, on peut aussi exprimer pour les suites géométriques, le terme général \( u_n \). Il est défini par la formule explicite suivante, \( \displaystyle \forall n, p \in \mathbb{N} \):
\[ \displaystyle u_n = u_p \times q^{n-p} \]
On a bien avec l’exemple précédent, \( u_3 = u_2 \times 4^{3-2} = 16 \times 4 = 64 \)
Comme pour les suites arithmétiques, il existe aussi pour les suites géométriques une formule pour la somme des \( n \) termes. Elle est définie si et seulement si \( q \neq 1 \). On a donc les deux formules suivantes qui sont équivalentes :
\[ \displaystyle S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = S_n = u_0 \times \frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}, \ \text{si } q \neq 1 \]
\[ \displaystyle S_n = \text{Premier terme} \times \frac{1 – q^{\text{nombre de termes}}}{1 – q} \]
⚠️ Attention, pour obtenir le nombre de termes, il faut ajouter \( 1 \) au nombre du dernier terme de la suite. Par exemple, si on a la suite de termes \( u_0 \), \( u_1 \), \( u_2 \) et \( u_3 \). On ajoute +1 au nombre du dernier terme de la suite et on a bien nombre de termes = \( 4 \)
Étudier des suites arithmétiques et géométriques
Astuce pour déterminer si une suite est arithmétique ou géométrique
Pour déterminer si une suite est arithmétique, tu dois vérifier que \( u_{n+1} – u_n = r \). Autrement dit, tu peux faire la différence de plusieurs premiers termes et montrer que leurs différences sont égales. Certes, cela ne te permettra pas de confirmer que la suite est toujours une suite arithmétique, mais cela te mettra sur la piste. Par exemple, en reprenant notre exemple du début de l’article, on voit bien que \( u_1 – u_0 = 5 – 2 = 3 \), \( u_2 – u_1 = 8 – 5 = 3 \), \( u_3 – u_2 = 11 – 8 = 3 \). Les différences sont bien égales.
Attention, pour montrer qu’une suite est arithmétique, tu devras néanmoins prouver que \( u_{n+1} = u_n = r \) autrement dit que \( u_{n+1} – u_n = r \).
De même pour les suites géométriques, tu peux calculer le quotient des termes consécutifs et montrer que leurs résultats sont égaux. Prenons l’exemple du début de l’article, on a bien:
\[
u_1 = \frac{u_1}{u_0} = \frac{4}{1} = 4
\]
\[
u_2 = \frac{u_2}{u_1} = \frac{16}{4} = 4
\]
\[
u_3 = \frac{u_3}{u_2} = \frac{64}{16} = 4
\]
\[
u_4 = \frac{u_4}{u_3} = \frac{256}{64} = 4
\]
Toutefois, pour véritablement montrer qu’une suite est géométrique, tu devras prouver que \( \displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} = q \)
Sens de variation d’une suite
On va régulièrement te demander de montrer qu’une suite est strictement croissante, croît, stagne, décroit ou est strictement décroissante.
Pour une suite arithmétique, il te faudra calculer \( u_{n+1} – u_n = r \) et observer le signe de la constante \( r \). Ainsi :
- si \( r > 0 \), la suite est strictement croissante.
- si \( r = 0 \), la suite est constante, elle stagne.
- si \( r < 0 \), la suite est strictement décroissante.
Pour une suite géométrique, il te faudra calculer \( \displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} = q \) et observer le signe de la constante \( q \). Ainsi :
- Si \( q > 1 \), la suite est strictement croissante.
- Si \( q = 1 \), la suite est constante.
- Si \( 0 < q < 1 \) , la suite est strictement décroissante.
- Si \( q < 0 \), le signe des termes change à chaque fois. La suite n’est donc ni croissante ni décroissante.
Étudier les suites en python
Enfin, dans le langage python, tu peux aussi exprimer des suites. Pour rappel, le langage python est un langage informatique de programmation. Tu peux d’ailleurs t’entraîner à écrire en python les formules des suites arithmétiques et géométriques sur divers sites, tels que mycompilateur 😉
Exercice d’entraînement : Récurrence mathématique
Soit une suite définie par :
\[
u_0 = 5 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = u_n + 4 \quad \text{pour} \ n \geq 0
\]
Montre par récurrence que pour tout entier naturel \( n \), on a \( \displaystyle u_n = 5 + 4n \)
Correction de l’exercice
On commence par l’initialisation. Pour rappel, l’initialisation consiste à vérifier si la propriété que l’on veut démontrer est vraie pour la première valeur possible dans l’ensemble demandé. Or, ici on nous demande de le démontrer pour tout entier naturel n, la première valeur possible est donc 0.
Ainsi, pour \( n = 0 \), on a : \( u_0 = 5 \). Or \( 5 + 4 \times 0 = 5 \). Donc la propriété est bien initialisée.
On passe à l’hérédité. Supposons que la propriété est vraie pour un certain \(n\), tel que :
\[ u_n = 5 + 4n \]
Montrons alors que cette propriété est encore vraie au rang \( n + 1 \) tel que :
\[ u_{n+1} = 5 + 4(n+1) \]
D’après l’énoncé de départ, on sait que \( u_{n+1} = u_n + 4 \). Donc on s’appuie sur l’hypothèse de récurrence et on a :
\[ u_{n+1} = 5 + 4n + 4 \]
Or \( 4n + 4 = 4(n+1) \). On a donc bien:
\[ u_{n+1} = 5 + 4(n + 1) \]
Ainsi, on a bien démontré par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), on a :
\[ u_n = 5 + 4n \]
Conclusion
Voilà, tu connais maintenant tout sur les suites arithmétiques et géométriques ! Tu es désormais capable d’expliquer de quoi il s’agit, de donner plusieurs exemples de suites différentes, d’étudier des suites arithmétiques et géométriques. J’espère que cet article t’a plu. Tu peux retrouver ici toutes nos autres ressources mathématiques et lire ce super article sur les techniques de conversion des unités de longueur !
