Aujourd’hui, nous allons travailler ensemble sur une notion fondamentale en mathématiques : le calcul littéral. Tu vas retrouver des calculs littéraux dans la quasi-totalité de tes exercices en mathématiques. Cet article est justement là pour te permettre de maîtriser toutes les techniques de réductions, développements et factorisations. Tu pourras même t’entraîner avec trois exercices corrigés en fin de cet article et devenir ainsi un vrai as du calcul littéral.
Les réductions de nombres, c’est quoi ?
La réduction de nombres désigne le fait de simplifier une expression mathématique, en réduisant son nombre de termes. Autrement dit, on va regrouper les termes similaires ensemble en les combinant (généralement en les additionnant ou en les soustrayant). Les réductions sont particulièrement utiles pour résoudre des équations et inéquations du premier degré. Prenons un exemple pour mieux comprendre ces idées :
- Simplifions l’expression suivante : \( 4x + 26 + 5x – 6 \)
On remarque qu’on peut regrouper les termes qui inclut la variable \( x \) et les chiffres 26 et 6.
On a donc \( (4x + 5x) + (26 – 6) = 9x + 20 \).
Tu as besoin d’un petit coup de pouce sur les racines carrées ? Jette un coup d’œil à notre article sur tout ce qu’il faut savoir sur les racines carrées.
Les développements de nombres, c’est quoi ?
Le développement désigne le fait de simplifier une expression mathématique, en supprimant ses parenthèses. Autrement dit, on va utiliser la distributivité pour faire les différents calculs. On utilise particulièrement les multiplications pour développer les parenthèses. Ainsi on passe d’une factorisation à une expression mathématique constituée d’additions ou de soustractions de termes. Prenons un exemple :
Développons l’expression suivante : \( 3(x + 4) + 2(x – 1) \)
On commence par distribuer les coefficients à l’intérieur des parenthèses. On a donc : \( 3(x + 4) + 2(x – 1) = 3x + 12 + 2x – 2 \)
Ensuite, on regroupe les termes semblables, c’est-à-dire les termes avec la variable \(x\) et les termes constants.
On a donc : \( (3x + 2x) + (12 – 2) = 5x + 10 \)
Fais toujours attention à ta façon de rédiger en mathématiques ! Tu peux d’ailleurs lire cet article pour améliorer ta rédaction dans les matières scientifiques.
Les factorisations dans les calculs, qu’est-ce que c’est ?
La factorisation désigne (encore une fois) le fait de simplifier une expression mathématique, en la transformant sous la forme d’un produit de facteurs. On va identifier des facteurs communs (nombres/variables) aux termes d’une expression, pour ensuite factoriser l’expression.
On utilise aussi particulièrement le plus grand commun diviseur (PGCD). Autrement dit, tu l’as bien compris, la factorisation est l’inverse du développement. Prenons deux exemples simples pour comprendre ce processus :
- Factorisons l’expression suivante : \( 5x + 10 \)
On remarque que le facteur \( 5 \) est commun aux deux termes. On peut donc factoriser cette expression mathématique en mettant \( 5 \) en facteur. On a donc :
\( 5x + 10 = 5(x + 2) \). Cette expression est bien factorisée.
- Factorisons l’expression suivante : \( 12x^2 – 18x \)
On commence par identifier le plus grand facteur commun entre les termes. Ici, il s’agit de \(6x\), car \(6\) est le plus grand nombre qui divise à la fois \(12\) et \(18\), et la variable \(x\) est présent dans les deux termes.
On factorise donc avec \(6x\) en facteur : \( 12x^2 – 18x = 6x(2x – 3) \)
Schéma récapitulatif
Schéma réalisé avec Diagrams
Calcul littéral et racines de polynômes du second degré
Pour rappel, un polynôme du second degré s’écrit sous la forme générale : \[ ax^2 + bx + c \] où \(a\), \(b\), et \(c\) sont des constantes, et \(x\) est la variable.
On peut factoriser un polynôme à partir de ses racines, solutions de l’équation \( ax^2 + bx + c = 0 \). Pour trouver les racines d’un polynôme du second degré, on utilise la formule du discriminant \(\Delta\), définie par : \[ \Delta = b^2 – 4ac \] et selon le signe du discriminant, les solutions ne sont pas les mêmes. Tu peux justement lire cet article sur les polynômes du second degré. Mais, en résumé :
Si \(\Delta > 0\), l’équation admet deux solutions réelles distinctes : \[ x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \]
Si \(\Delta = 0\), l’équation admet une unique solution réelle : \[ x_0 = \frac{-b}{2a} \]
Si \(\Delta < 0\), l’équation n’a pas de solution réelle.
À partir de ces racines (solutions), le polynôme, si il admet deux racines, peut alors s’écrire sous la forme factorisée : \[ P(x) = a(x – x_1)(x – x_2) \] où \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines du polynôme.
Et si l’équation admet une unique solution, alors le polynôme est factorisé sous la forme : \[ P(x) = a(x – x_0)^2 \] où \(x_0\) est la racine unique.
Exercices d’entraînements sur le calcul littéral
Exercice 1 : Réduction
Simplifie les expressions suivantes :
\( 5x + 3 – 2x + 7 \) et \( \frac{4x}{2} + 3 – x + \frac{6}{2} \)
Exercice 2 : Développement
Développe et simplifie l’expression suivante :
\( 4(2x – 3) + 3(x + 5) \)
Exercice 3 : Factorisation
Factorise l’expression suivante (mais attention s’agit-il d’un polynôme du second degré ?) :
\( x^2 – 9 \)
Correction des exercices
Corrigé exercice 1
- Pour simplifier l’expression \( 5x + 3 – 2x + 7 \), on regroupe les termes similaires :
\( (5x – 2x) + (3 + 7) = 3x + 10 \)
L’expression simplifiée est donc : \( 3x + 10 \)
- Pour simplifier l’expression \( \frac{4x}{2} + 3 – x + \frac{6}{2} \), on commence par réduire les fractions :
\( \frac{4x}{2} = 2x \quad \text{et} \quad \frac{6}{2} = 3 \)
On remplace dans l’expression : \( 2x + 3 – x + 3 \)
Ensuite, regroupons les termes similaires : \( (2x – x) + (3 + 3) = x + 6 \)
L’expression simplifiée est donc : \( x + 6 \)
Corrigé exercice 2
Pour développer l’expression, \( 4(2x – 3) + 3(x + 5) \), il faut d’abord distribuer les coefficients :
\( 4(2x – 3) + 3(x + 5) = 4 \cdot 2x – 4 \cdot 3 + 3 \cdot x + 3 \cdot 5 = 8x – 12 + 3x + 15 \)
Puis, on regroupe les termes similaires (autrement dit on fait une réduction), on a donc:
\( (8x + 3x) + (-12 + 15) = 11x + 3 \)
L’expression développée et simplifiée est donc: \( 11x + 3 \)
Corrigé exercice 3
Il y a deux méthodes pour trouver cette factorisation.
- 1ère méthode : la recherche des racines
On voit bien que \( x^2 – 9 \) est un polynôme du second degré (on utilise donc la technique que tu connais désormais). On résout d’abord \( x^2 – 9 = 0 \), ce qui revient à \( x^2 = 9 \).
Donc, on a \( x_1 = \sqrt{9} \quad \text{ou} \quad x_2 = -\sqrt{9} \).
D’où, \( x_1 = 3 \quad \text{ou} \quad x_2 = -3 \)
À partir de la formule, \( P(x) = a(x – x_1)(x – x_2) \), comme dans ce polynôme \( a = 1 \).
L’expression factorisée est donc : \( x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3) \).
- 2ème méthode (plus efficace) : l’utilisation des identités remarquables
Pour factoriser l’expression \( x^2 – 9 \), on peut reconnaître qu’il s’agit d’une identité remarquable de type \( a^2 – b^2 \). Or \( a^2 – b^2 = (a – b)(a + b ) \)
Donc en prenant \( a = x \) et \( b = 3 \), on a donc :
\( x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3) \)
La réponse factorisée est donc bien : \( (x – 3)(x + 3) \). C’est quand même bien plus rapide 😉
Conclusion sur le calcul littéral
Voilà, maintenant tu sais parfaitement maîtriser le calcul littéral. Tu es désormais capable de réduire, de développer ou encore de factoriser des nombres. Tu t’es même entraîné avec plusieurs exercices de niveaux différents et aussi avec des polynômes du second degré. J’espère que cet article t’a plu. Tu peux retrouver ici toutes nos autres ressources mathématiques et tu peux aller encore plus loin en découvrant ce super article sur la conversion des unités de mesure.