Dans cet article écrit par Ilan Hourchani, nous allons te présenter les équations du second degré. Plus particulièrement, à la fin de cette lecture, tu connaîtras les fonctions polynômes associées aux équations, les différentes méthodes de résolution d’équations associé ainsi que l’étude des fonctions polynômes.
Les fonctions polynômes du second degré
Généralités
On appelle fonction polynôme du second degré les fonctions s’écrivant de la forme : $$ f(x)=ax^2+bx+c$$ où \(a,b\) et \(c\) sont des nombres réels et \(a \ne 0\).
Cette expression de \(f\) ci-dessus, est appelé la forme canonique du polynôme.
Pour réaliser l’étude de cette fonction, autrement dit l’étude de son signe et de ses variations, la méthode générale est de calculer ce qu’on appelle le discriminant, pour ensuite essayer de factoriser la fonction et simplifier ainsi son écriture en vue de l’étude. L’étape du calcul du discriminant et de la factorisation fait appelle aux racines du polynôme. Ces racines sont les solutions de l’équation \(f(x)=0\).
Le discriminant
On note \(\Delta\) (delta) le discriminant qui se calcule de la manière suivante:
$$ \Delta = b² – 4ac$$
Une fois calculé, il existe trois cas de figure récapitulés dans le tableau ci-dessous pour factoriser notre fonction \(f\). En effet, la factorisation de la fonction va dépendre du signe de \(\Delta\).
| Signe du discriminant \(\Delta \) | \(\Delta>0\) (1) | \(\Delta=0\) (2) | \(\Delta<0\) (3) |
| Racines du polynôme | Il existe 2 racines différentes:
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) \(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) |
Il existe une unique racine: \(x_1=x_2=\frac{-b}{2a}\) | Il n’existe pas de racine réelles |
| Factorisation de la fonction \(f\) | \(f(x)= a(x-x_1)(x-x_2)\) | \(f(x)=a(x-x_1)^2\) | Pas de factorisation possible dans le domaine réelle |
Exemple
Prenons la fonction suivante : \(f(x)=2x^2+4x+1\)
On vous demande dans l’exercice d’écrire la fonction \(f\) sous forme factorisée.
1. Dans ce cas, nous commençons par Calculer le discriminant de la fonction:
\(\Delta =b^2-4ac = 4^2 – 4 * 2 * 1 = 16 – 8 = 8\)
On a bien \(\Delta >0\) par conséquent il existe 2 racines différentes:
\(x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4-\sqrt{8}}{2*2} = \frac{-4-2\sqrt{2}}{4} = \frac{-2-\sqrt{2}}{2}\) \(x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4+\sqrt{8}}{2*2} = \frac{-4+2\sqrt{2}}{4} = \frac{-2+\sqrt{2}}{2}\)2. Ainsi, d’après le tableau précédent, La factorisation de f s’écrit sous la forme:
\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=2(x-\frac{-2-\sqrt{2}}{2})(x-\frac{-2+\sqrt{2}}{2})\)L’exemple est terminé. La prochaine étape maintenant est d’étudier le signe de la fonction \(f\).
Etude du signe d’un polynôme du second degré
Dans les exercices il peut être souvent demandé d’étudier le signe du polynôme. Pour répondre correctement à cette question, il est nécessaire de réaliser l’étape précédente : factoriser le polynôme.
Une fois réalisée correctement, étudier le signe de la fonction revient à savoir pour quelles valeurs de \(x\) la fonction \(f\) sera positive ou négative. 3 cas de figure s’offrent à nous:
Cas (1) : \(\Delta > 0\)
On peut alors écrire : \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)
Supposons que \(x_1<x_2\)
Le signe de \(f\) est donné par le tableau suivant :
| \(x\) | -∞ \(x_1\) \(x_2\) +∞ |
| Signe de \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) | Signe de \(a\) | Signe de \(-a\) | Signe de \(a\) |
On rappelle que \(f(x_1)=f(x_2)=0\)
Cas (2) : \(\Delta = 0\)
On peut alors écrire : \(f(x)=a(x-x_1)^2\)
Le signe de \(f\) est donné par le tableau suivant :
| \(x\) | -∞ \(x_1\) +∞ |
| Signe de \(f(x)=a(x-x_1)^2\) | Signe de \(a\) | Signe de \(a\) |
On rappelle que \(f(x_1)=0\)
Cas (3) : \(\Delta < 0\)
On a \(f(x)=ax^2+bx+c\), avec toujours \(a \ne 0\)
Le signe de \(f\) est toujours le même que le signe de \(a\)
| \(x\) | -∞ +∞ |
| Signe de \(f(x)=ax^2+bx+c\) | Signe de \(a\) |
Après vous avoir rappelé les bases des connaissances requises pour étudier en tous cas un polynôme du second degré, nous allons maintenant vous présenter quelques astuces pour essayer d’aller plus vite dans certains cas.
Trucs & Astuces
Relations somme et produit des racines d’un polynôme
Lorsque \(\Delta >0\), il existe des relations simple entre le produit et la somme des racines \(x_1\) et \(x_2\) du polynôme.
Somme : \(x_1+x_2 = – b*a\)
Produit: \(x_1*x_2 = c*a\)
Connaître ces relations permet de trouver les racines très rapidement lorsqu’une racine évidente apparaît.
Prenons l’exemple du polynôme suivant: \(f(x)=2x^2+x-1\)
On peut voir tout de suite que \(f(-1) = 2-1-1 = 0\)
Par conséquent, \(-1\) est racine évidente du polynôme.
En utilisant la relation du produit des racines on peut trouver la deuxième racine très facilement :
\(-1*x_2 = -12\) d’où \(x_2=12\)
D’une manière général, les racines évidentes à tester sont les valeurs : \(x=0\); \(x=-1\); \(x=1\)
Factorisation et identité remarquable
Dans la question de factorisation, il ne faut pas hésiter au premier coup d’oeil à vérifier que l’on a pas une identité remarquable sous les yeux. Pour cela, nous vous renvoyons au cours sur les identités remarquables.
Prenons l’exemple du polynôme suivant: \(f(x)=x^2+2x+1\)
Si vous devez factoriser ce polynôme, vous devez tout de suite reconnaître \(f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\) !
Conclusion
Pour conclure cette article, il est important de connaître son cours sur les polynômes du second degré. L’essentiel a été rappelé précédemment. Pour en savoir plus, tu peux aussi consulter cette fiche plus générale sur la résolution d’équations.
Les exercices abordés le jour de l’examen sont toujours les mêmes et les méthodes de résolutions sont aussi toujours applicable. Il s’agit de comprendre et de bien appliquer les techniques vues dans ce récapitulatif, et distinguer les différentes classes de problèmes (signe de \(\Delta\)).
