Aujourd’hui, nous allons travailler ensemble sur une notion fondamentale en mathématiques : la résolution des équations et inéquations du premier degré !
Tu vas retrouver ces notions dans de nombreux exercices mathématiques (y compris au baccalauréat), il est donc primordial d’apprendre à les résoudre. Cet article est justement là pour te permettre de devenir un as de la résolution des équations et inéquations. Tu pourras même t’entraîner avec deux exercices corrigés à la fin de cet article !
Qu’est-ce qu’une équation du premier degré ?
Une équation du premier degré est une égalité mathématique entre deux expressions comprenant une seule variable inconnue. Il s’agit le plus souvent de la variable \( x \).
Pour mieux comprendre cette idée, prenons l’exemple suivant :
\( 2x + 3 = 9 \)
Il s’agit bien d’une équation du premier degré, car il y a une seule inconnue \(x \) et une relation d’égalité entre l’expression \( 3x + 3 \) et le résultat \( 9 \).
Mais, l’expression plus complexe \( \displaystyle 12x – \frac{2}{3} = 12 + 7 \) est aussi une équation du premier degré.
Tu as besoin d’un petit coup de pouce sur les fonctions ? Jette un coup d’œil à notre article sur la résolution d’une équation avec une fonction.
Qu’est-ce qu’une inéquation du premier degré ?
Une inéquation du premier degré est une inégalité mathématique entre deux expressions comprenant une seule variable inconnue, souvent \( x \). Il s’agit donc d’une expression séparée par l’un des symboles d’inégalités suivants \( < \), \( \leq \), \( > \), \( \geq \) qui signifie respectivement inférieur, inférieur ou égal, supérieur et supérieur ou égal.
Pour mieux comprendre cette idée, prenons l’exemple suivant :
\( 3x – 7 \leq 11 \)
Il s’agit bien d’une inéquation du premier degré car il y a une seule inconnue \(x \) et une relation d’inégalité avec le symbole \( \leq \) entre l’expression \( 2x – 7 \) et le résultat \( 11 \).
Mais, l’expression plus complexe \( 3x – 7 \leq 12 + 3 \times (15 + 2) \) est aussi une inéquation du premier degré.
Fais toujours attention à ta façon de rédiger en mathématiques ! Tu peux d’ailleurs lire cet article pour améliorer ta rédaction dans les matières scientifiques.
Comment résoudre une équation du premier degré ?
Résoudre une équation du premier degré désigne le fait de déterminer la valeur de la variable inconnue contenue dans cette équation, autrement dit la valeur de \( x \). On donnera alors simplement la valeur de \( x \) comme solution. Pour résoudre une équation du premier degré, il faut avant tout raisonner par étapes mais plusieurs techniques sont utilisables:
- Tu dois tout d’abord simplifier l’égalité en ajoutant (addition) ou en enlevant certains termes (soustraction) afin d’isoler les termes contenant la variable d’un côté de l’équation. Cela permet donc d’obtenir une égalité avec uniquement des \( x \) d’un côté et une valeur de l’autre.
- Il suffit alors de diviser de chaque côté afin d’isoler la variable et donc de trouver la valeur de cette variable.
Par exemple, résolvons ensemble l’équation suivante : \( 2x + 3 = 9 \)
- On soustrait par 3 de chaque côté de l’égalité : \( 2x + 3 – 3 = 9 – 3 \). On a donc : \( 2x = 6 \).
- On divise alors par 2 de chaque côté de l’égalité et on a : \( \displaystyle \frac{2x}{2} = \frac{6}{2} \)
- On trouve donc que : \( x = 3 \)
Cette première technique est utile quand l’expression est simple.
Mais certaines équations sont plus complexes, il faut alors utiliser la deuxième technique suivante (au programme de mathématiques niveau lycée):
- Pour simplifier l’expression, il faut parfois développer ou réduire les parenthèses (quand elles sont présentes dans l’équation) ou commencer d’abord par multiplier/diviser par certains termes les deux expressions de l’équation.
Par exemple, résolvons ensemble l’équation suivante : Exemple : \( 3 \times (x + 2) = 15 \)
- On développe et on a \( 3x + 6 = 15 \)
- On utilise alors la première technique (je te laisse le faire pour t’entraîner) et on trouve:
\( x = 3 \)
Comment résoudre une inéquation du premier degré ?
Résoudre une inéquation du premier degré désigne, là aussi, le fait de déterminer la valeur de la variable inconnue contenue dans cette inéquation, autrement dit la valeur de \( x \). On donnera souvent une intervalle de solutions des valeurs de \( x \) possibles. Bien qu’il faille aussi raisonner par étapes, il faut surtout faire attention aux symboles d’inégalité utilisés ( \( < \), \( \leq \), \( > \), \( \geq \) ) car en fonction du symbole, le résultat obtenu ne sera pas le même.
- Il faut d’abord isoler l’inconnue. Comme pour la résolution d’une équation, on peut additionner/soustraire un nombre dans chacune des expressions de l’inéquation ou multiplier/diviser par un nombre non nul positif (quand tu multiplies/divises par un nombre négatif, le symbole d’inégalité peut changer, nous verrons ça par la suite)
- Tu dois aussi pour des inéquations plus complexes développer/réduire les parenthèses
D’abord prenons un exemple de résolution d’inéquation avec cette première technique: \( 3x – 7 \leq 11 \)
- On ajoute 7 des deux côtés : \( 3x – 7 + 7 \leq 11 +7 \) et on a: \( 3x \leq 18 \)
- On divise alors par 3 (qui est bien un nombre non nul positif) et on a: \( x \leq 6 \)
La solution de l’inéquation est \( x \leq 6 \). En d’autres termes, \( x \) appartient à l’intervalle x \( \in ]-\infty, 6] \).
- Attention, il faut parfois multiplier/diviser par un nombre négatif, mais le sens de l’inéquation change ! Cette règle est primordiale, car cela signifie que le symbole d’inégalité ne sera plus le même.
Prenons un exemple, résolvons: \( -4x > 8 \)
- On divise par \( – 4 \) de chaque côté et le symbole change donc : \( \displaystyle \frac{-4x}{-4} < \frac{8}{-4} \)
- On trouve alors: \( x < -2 \)
Exercices d’entraînements sur les équations et inéquations du premier degré
Maintenant que tu connais toutes ces techniques de résolution d’équations et d’inéquations du premier degré. Tu peux t’entraîner pour être sûr de les avoir comprises, avec les deux exercices suivants de difficultés progressives. Un conseil : ne va pas trop vite et fais bien étape par étape !
Exercice 1
Trouve les solutions de l’équation et de l’inéquation suivantes:
- \( 2x + 3 = 7 \)
- \( 4x + 2 > 6 \)
Exercice 2 (niveau difficile)
Trouve les solutions de l’équation et l’inéquation ci-dessous:
- \( 2(x – 3) + 4 = 3(x + 1) – 5 \)
- \( \displaystyle \frac{2x – 5}{3} \geq \frac{x + 4}{2} \)
Corrigé des exercices sur les équations et inéquations du premier degré
Corrigé Exercice 1
- Pour l’équation, on additionne par 3 de chaque côté, puis on divise par 2 de chaque côté:
\( \begin{align*}
2x &= 7 – 3 \\
2x &= 4 \\
x &= \frac{4}{2} \\
x &= 2
\end{align*} \)
La solution de cette première équation est donc \( x = 2 \)
- Pour l’inéquation, on soustrait par 2 de chaque côté, puis on divise par 4 de chaque côté:
\( \begin{align*}
4x &> 6 – 2 \\
4x &> 4 \\
x &> \frac{4}{4} \\
x &> 1
\end{align*} \)
La solution de cette première inéquation est donc \( x > 1 \). Donx \( x \) appartient à l’intervalle \( x \in ]1, +\infty[ \)
Corrigé Exercice 2
- Pour l’équation “plus complexe”, on développe d’abord les parenthèses de chaque côté. Puis, on additionne et on soustrait les termes simples. Puis on soustrait par \( 2x \) des deux côtés et ajoute 2 de chaque côté. En mathématiques, on a donc:
\( \begin{align*}
2x – 6 + 4 &= 3x + 3 – 5 \\
2x – 2 &= 3x – 2 \\
-2 &= x – 2 \\
0 &= x
\end{align*} \)
La solution de cette équation est donc \( x = 0 \)
- Pour l’inéquation “plus complexe”, on commence par “éliminer” les fractions en multipliant par 6 de chaque côté et on développe alors les parenthèses. Puis, on isole la variable \( x \) en enlevant \( 3x \) et en ajoutant 10 de chaque côté. En mathématiques, on a donc:
\( \begin{align*}
\frac{2x – 5}{3} &\geq \frac{x + 4}{2} \\
6 \cdot \frac{2x – 5}{3} &\geq 6 \cdot \frac{x + 4}{2} \\
2 \cdot (2x – 5) &\geq 3 \cdot (x + 4) \\
4x – 10 &\geq 3x + 12 \\
4x – 3x – 10 &\geq 12 \\
x – 10 &\geq 12 \\
x &\geq 22
\end{align*} \)
La solution de cette inéquation est donc \( x \geq 22 \). Donx \( x \) appartient à l’intervalle \( x \in [22, +\infty[ \)
Conclusion sur les équations et inéquations du premier degré
Voilà, tu connais maintenant tout sur la résolution des équations et inéquations du premier degré ! Tu es désormais capable de résoudre des équations comme des inéquations du premier degré ! Tu t’es même entraîné avec plusieurs exercices. J’espère que cet article t’a plu. Tu peux retrouver ici toutes nos autres ressources mathématiques et tu peux aller encore plus loin en découvrant les équations et fonctions polynômes du second degré.
