Dans cet article, on va voir les différentes méthodes pour résoudre des équations à l’aide d’une fonction. Cela est possible par l’intermédiaire de plusieurs théorèmes du cours !
Solution exacte et solution approchée d’une équation
Soit \(P\) un polynôme du second degré (i.e. \(P\) peut s’écrire sous la forme \(ax^2+bx+c\), avec \(a\),\(b\) et \(c\) trois réels) ;
Pour résoudre des équations du type \(P(x)=0\), on commence par calculer le discriminant \(\Delta\).
Il permet de déterminer le nombre de solutions et leurs valeurs (si l’équation admet des solutions).
Si tu ne sais pas comment déterminer \(\Delta\), va checker cet article : Toutes les astuces pour résoudre les équations
Soit \(f(x)=k\) (\(k\) étant une constante), où \(f\) est une fonction quelconque.
Lorsqu’il s’agit d’équations du type \(f(x)=0\), il n’y a pas de formule permettant de déterminer directement les valeurs exactes des solutions.
Pour obtenir des valeurs approchées, on utilise des méthodes décrites au préalable dans l’énoncé de l’exercice.
Cependant, on dispose d’un théorème assurant l’existence éventuelle de solutions.
Théorème d’existence
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit \(f\) une fonction définie et continue sur un intervalle \(I\), et soit \(a\) et \(b\) deux réels de \(I\).
Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe un réel \(c\) compris entre \(a\) et \(b\) tel que \(f(c)=k\).
Cela signifie que l’équation \(f(x)=k\) admet au moins une solution (le nombre \(c\)) comprise entre \(a\) et \(b\).
Corollaire : théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires)
Pour rappel, dans un raisonnement mathématique, un corollaire est un énoncé qui résulte immédiatement d’une proposition déjà démontrée. C’est en quelque sorte une conséquence évidente.
Ainsi, si, en plus des hypothèses précédentes, \(f\) est strictement monotone (i.e. si \(f\) est strictement croissante ou strictement décroissante), alors le réel \(c\) est unique.
Dans ce cas, l’équation \(f(x)=k\) admet donc une seule et unique solution.
Utilité d’un tableau de variation
La lecture d’un tableau de variation fournit les éléments permettant d’appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ou celui de la bijection (son corollaire), par des considérations de signe.
