En mathématiques, chaque fonction peut faire l’objet d’une étude afin de déterminer sa limite. Si tu ne sais pas encore comment trouver la limite d’une fonction, va checker cet article : Les limites de fonctions
Cependant, les limites ne sont pas toujours évidentes à trouver, en particulier dans les cas où l’on trouve une “forme indéterminée”.
Dans cet article, tu trouveras les techniques les plus courantes utilisées pour lever les formes indéterminées.
Rappel sur les formes indéterminées
On rappelle qu’une forme indéterminée est une situation de calcul lorsque l’on est incapable de dire quelle limite va l’emporter. Cette situation est assez embêtante. En effet, entre \(-\infty\) et \(+\infty\), êtes vous capable d’affirmer que l’un des deux est plus grand que l’autre ? Non… C’est pour cela que \(-\infty +\infty\) est une forme indéterminée. Ce mécanisme se retrouve de la même façon dans toutes les autres types de formes indéterminées.
Soit \(x_0 \in \mathbb{R}\), \(x_0 = +\infty\) ou \(x_0 = -\infty\) selon les cas.
On a alors :
Remarque
Ainsi, on appelle “formes indéterminées” les expressions de la forme :
\(\;\)
- \(\infty -\infty\)
\(\;\) - \(0\;\)x\(\;\infty\)
\(\;\) - \(\frac{\infty}{\infty}\)
\(\;\) - \(\frac{0}{0}\)
Quelques techniques pour lever des indéterminations
- Si \(f(x)\) est un polynôme, la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\) (et seulement dans ce cas) est égale à la limite de son monôme de plus haut degré. De fait, on factorisera par son monôme de plus haut degré (toujours).
\(\;\) - Si \(f(x)\) est une fonction rationnelle (i.e. \(f(x)\) est le quotient de deux polynômes), la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\) est égale à la limite du quotient des monômes de plus haut degré. De fait, on factorisera par son monôme de plus haut degré (toujours)
\(\;\) - Dans le cas de quotients, quand \(x\) tend vers une valeur “interdite” \(x_0\), il faut bien souvent étudier les limites quand \(x\) tend vers \(x_0\) à gauche et à droite du numérateur et du dénominateur (i.e. étudier les limites en \(x_0^-\) et \(x_0^+\)).
