Dans cet article, tu vas apprendre les bases pour calculer les limites de fonctions (attention, à ne pas confondre avec les limites de suite !). Focus sur les limites finies et infinies.
Limite d’une fonction à l’infini
Limite finie à l’infini
Définition : On dit que la fonction la fonction \(f\) admet pour limite \(L\) en \(+\infty\) si, pour un \(x\) suffisamment grand, \(f(x)\) se rapproche de \(L\).
On note alors :
\[\lim \limits_{x \to +\infty}f(x)=L\]
Exemple :
Déterminons la limite de la fonction \(f(x)=3+\frac{1}{x}\) :
\(f(1)=3+1\)
\(f(2)=3+\frac{1}{2}\)
\( …\)
\(f(1000)=3+\frac{1}{1000}\approx3\)
Ainsi, on remarque bien que les valeurs de la fonction \(f\) se rapprochent de \(3\) dès que \(x\) est suffisamment grand.
Il vient donc :
\[\lim \limits_{x \to +\infty}f(x)=3\]
Asymptotes :
Si \(\lim \limits_{x \to +\infty}f(x)=L\), ou si \(\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=L\), alors la droite d’équation \(y=L\) est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction \(f\).
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Limite infinie à l’infini
Définition : On dit que \(f\) admet pour limite \(+\infty\) en \(+\infty\) si, pour un \(x\) suffisamment grand, \(f(x)\) est assez grand.
On note alors :
\[\lim \limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty\]
Exemple :
La fonction définie pour tout \(x\) par \(f(x)=x^{2}\) admet pour limite \(+\infty\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
ATTENTION
- Une fonction qui tend vers \(+\infty\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) n’est pas toujours croissante.
- Il existe des fonctions qui n’admettent pas de limite finie, et notamment les fonctions dites sinusoïdales.
Exemple : La fonction sinus
Limites des fonctions usuelles
En \(+\infty\) :
\(\lim \limits_{x \to +\infty}x^{2}=+\infty\)
\(\lim \limits_{x \to +\infty}x^{3}=+\infty\)
\(\lim \limits_{x \to +\infty}\sqrt{x}=+\infty\)
\(\lim \limits_{x \to +\infty}\frac{1}{x}=0\)
\(\lim \limits_{x \to +\infty}e^{x}=+\infty\)
En \(-\infty\) :
\(\lim \limits_{x \to -\infty}x^{2}=+\infty\)
\(\lim \limits_{x \to -\infty}x^{3}=-\infty\)
\(\lim \limits_{x \to -\infty}\frac{1}{x}=0\)
\(\lim \limits_{x \to -\infty}e^{x}=0\)
Limite d’une fonction en un réel \(A\)
Définition : On dit que la fonction \(f\) admet pour limite \(+\infty\) en \(A\) si, pour \(x\) suffisamment proche de \(A\), \(f(x)\) est assez grand.
On note alors :
\[\lim \limits_{x \to A}f(x)=+\infty\]
Asymptotes :
Si \(\lim \limits_{x \to A}f(x)=+\infty\), ou si \(\lim \limits_{x \to A}f(x)=-\infty\), alors la droite d’équation \(x=A\) est asymptote verticale à la courbe représentative de \(f\).
ATTENTION
Dans certains cas, il est nécessaire de préciser si \(x>A\) ou si \(x<A\).
Exemple :
Prenons la fonction \(f\) définie pour tout \(x \in\mathbb{R}^{*}\) par :
\[f(x)=\frac{1}{x}\]
Comme \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}^{*}\), étudions sa limite “à droite” et “à gauche” de \(0\) :
- \(x<0\) : \(\lim\limits_{ \begin{array}{l} x \to 0\\ x < 0 \end{array}}f(x)=-\infty\)
- \(x>0\) : \(\lim\limits_{ \begin{array}{l} x \to 0\\ x > 0 \end{array}}f(x)=+\infty\)
Opérations sur les limites
Limite d’une somme
Limite d’un produit
Limite d’un quotient
Les formes indéterminées
- “\(\infty \: – \infty\)”
- “\(0\:\)x\(\:\infty\)”
- “\(\frac{\infty}{\infty}\)”
- “\(\frac{0}{0}\)”
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