Dans cet article, nous allons travailler ensemble sur une notion fondamentale en mathématiques : le produit cartésien ! Tu vas retrouver cette notion dans de nombreux concepts et théorèmes mathématiques, il est donc primordial de la comprendre et de savoir l’utiliser. Cet article est justement là pour te permettre de maîtriser toutes les propriétés et astuces sur le produit cartésien. Tu pourras même t’entraîner avec deux exercices corrigés en fin de cet article !
Qu’est-ce que le produit cartésien en mathématiques ?
Le produit cartésien est une opération mathématique qui va nous permettre de combiner deux ensembles \( A \) et \( B \) pour en former un nouveau, noté \( A \times B \). Le produit cartésien \( A x B \) correspond alors à l’ensemble de tous les couples \( (a, b) \) où \( a \) est un élément de \( A \) et \( b \) est un élément de \( B \). On va ainsi construire autant de couples de valeurs que d’associations possibles.
Si on traduit cette définition, en langage mathématique, on a donc que le produit cartésien \( A \times B \) est défini par :
\[ A \times B = { (a, b) \mid a \in A \text{ et } b \in B } \]
Prenons quelques exemples de produits cartésiens pour mieux comprendre cette idée :
Si \( A = {1, 2} \) et \( B = {x, y} \), on veut calculer le produit cartésien \( A \times B \). On observe les deux ensembles et on voit qu’on peut obtenir 4 différents couples possibles :
- (1, x)
- (1, y)
- (2, x)
- (2, y)
Donc le produit cartésien \( A \times B \) est :
\[
A \times B = { (1, x), (1, y), (2, x), (2, y) }
\]
⚠️ Attention à ne pas faire d’erreur de rédaction dans tes calculs, surtout dans les matières scientifiques !
Propriétés du produit cartésien
L’importance de l’ordre dans le produit cartésien
Il n’y a pas de commutativité du produit cartésien, autrement dit, le produit cartésien \( A \times B \) est différent de \( B \times A \). En effet, dans un produit cartésien l’ordre des paires de solutions est important. Ainsi, si on reprend notre exemple. Avec \( A = {1, 2} \) et \( B = {x, y} \). Si on calcule les produits cartésiens \( A \times B \) et \( B \times A \). On voit qu’on obtient deux résultats différents :
- \( A \times B = { (1, x), (1, y), (2, x), (2, y) } \)
- \( B \times A = { (x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2) } \)
Le produit cartésien et les ensembles vides
Il y a une propriété importante et toujours vérifiée concernant le produit cartésien et les ensembles vides. Si l’un des ensembles \( A \) ou \( B \) est vide, alors leur produit cartésien est aussi un ensemble vide. En effet, si \( A = \emptyset \) ou \( B = \emptyset \), alors on obtiendra toujours que le produit cartésien \( A \times B \) est :
\[ A \times B = \emptyset \]
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La cardinalité et le nombre d’éléments du produit cartésien
La cardinalité d’un ensemble désigne le nombre d’éléments inclus dans cet ensemble (pour mieux comprendre cette notion, tu peux regarder cette vidéo intéressante sur le cardinal d’un ensemble).
Quand on parle de cardinalité du produit cartésien, cela signifie que, si les ensembles d’un produit cartésien sont des ensembles finis, alors ce produit sera aussi un ensemble fini. C’est une propriété essentielle du produit cartésien !
De plus, il est facile d’identifier le nombre d’éléments d’un produit cartésien. En effet, le nombre d’éléments dans le produit cartésien \( A \times B \) est égal au produit du nombre d’éléments inclus dans l’ensemble \( A \) et du nombre d’éléments inclus dans l’ensemble \( B \).
Astuces sur le produit cartésien en mathématiques
Élargissement de la notion à tous les ensembles
En réalité, on peut élargir cette notion du produit cartésien au delà de 2 ensembles. On peut construire des produits cartésiens avec une infinité d’ensembles.
Si on élargit avec 3 ensembles \( A \), \( B \) et \( C \) alors le produit cartésien \( A \times B \times C \) correspond à l’ensemble des triplets \( (a, b, c) \) où \( a \) est un élément de l’ensemble \( A \), \( b \) est un élément de l’ensemble \( B \) et \( c \) est un élément de l’ensemble \( C \).
Mais on peut aussi élargir à une infinité d’ensemble \( A_p \) alors le produit cartésien de \( A_1 \times A_2 \times A_3 \times \dots \times A_p \) correspondra à l’ensemble des p-uplets \( (a_1, a_2, a_3, \dots, a_p) \) avec \( a_1 \in A_1 \), \( a_2 \in A_2 \), \( \dots \), \( a_p \in A_p \).
Représentation graphique du produit cartésien
On peut représenter graphiquement le produit cartésien sous la forme d’un tableau ou d’une grille. En effet, en notant en ligne les éléments d’un ensemble \( A \) et en colonne les éléments d’un autre ensemble \( B \). Chaque case de la grille correspond alors un couple possible \( (a, b) \) du produit cartésien \( A \times B \).
Avec notre exemple \( A = {1, 2} \) et \( B = {x, y} \), on peut ainsi obtenir le produit cartésien \( A \times B \) dans le tableau suivant :
| A \ B | x | y |
| 1 | (1,x) | (1,x) |
| 2 | (2,x) | (2,y) |
Exercices d’entraînement sur le produit cartésien en mathématiques
Exercice 1 : Calculs simples
Soient deux ensembles \( A \) et \( B \), tels que \( \displaystyle A = { 11, 23, 37, 42 } \) et \( \displaystyle B = { a, b, c } \). Trouves le produit cartésien \( A \times B \)
Exercice 2 : Problème mathématique
Soient deux ensembles \( \displaystyle A = { 2, 4, 6 } \), \( \displaystyle B = { x, y, z } \).
- Donne le produit cartésien \( A \times B \)
- Le sous-ensemble \( \displaystyle C = { (a, x), (b, y) } \) est-il un sous-ensemble du produit cartésien \( A \times B \) ?
- Soit un ensemble \( D = { (2, y), (6, x), (4, z) } \). Montre que \( \displaystyle D \in A \times B \).
Correction des exercices sur le produit cartésien
Corrigé Exercice 1
On peut déjà observer grâce au nombre d’éléments dans \( A \) et \( B \) qu’il y aura 12 couples possibles, car \( 4 \times 3 = 12 \). On obtient alors le produit cartésien suivant :
\[
\displaystyle A \times B = { (11, a), (11, b), (11, c), (23, a), (23, b), (23, c), (37, a), (37, b), (37, c), (42, a), (42, b), (42, c) }
\]
Corrigé exercice 2
Pour la question 1, on constate qu’il y aura 9 couples possibles. On obtient le produit cartésien par association des éléments de chaque ensemble :
\[
\displaystyle A \times B = { (2, x), (2, y), (2, z), (4, x), (4, y), (4, z), (6, x), (6, y), (6, z) }
\]
Pour la question 2, il suffit d’observer la question 1. On constate aisément que les deux couples \( (a, x), (b, y) \) ne sont pas dans le produit cartésien obtenu. Donc \( C \) n’est pas un sous-ensemble du produit cartésien \( A \times B \).
Enfin, pour la question 3, on observe grâce à la première question que l’ensemble \( D = { (2, y), (6, x), (4, z) } \) contient uniquement des éléments qui se retrouvent dans le produit cartésien \( A \times B \). On peut donc conclure que \( \displaystyle D \in A \times B \)
Ce que tu dois retenir sur le produit cartésien en mathématiques
Voilà, tu connais maintenant tout sur le produit cartésien ! Tu es désormais capable de donner sa définition ainsi que ses propriétés et tu peux effectuer différentes opérations avec le produit cartésien ! Tu t’es même entraîné avec deux exercices de niveaux différents. J’espère que cet article t’a plu. Tu peux retrouver ici toutes nos autres ressources mathématiques et lire cet article sur les techniques de conversion des unités de longueur !
