Si tu es en terminale, les suites récurrentes te permettront sûrement de te démarquer lors de ton épreuve du baccalauréat, cet article te permettra de revoir cette notion et de t’entraîner grâce à plusieurs exercices.
Définir une suite récurrente
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I \subset \mathbb{R}\) à valeurs réelles.
On définit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 \in I\) et pour tout entier naturel, \(u_{n+1} = f(u_n)\).
Étudier le sens de variation d’une suite récurrente du type \(\ f(u_n) = u_{n+1} \)
Pour trouver le sens de variation d’une suite récurrente, tu peux essayer d’utiliser cette définition.
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
Si \(U_n\) appartient à l’intervalle \(I\) pour tout \(n\), alors :
– Si pour tout \(x \in I, f(x) \geq x\) alors \((u_n)\) est croissante.
– Si pour tout \(x \in I, f(x) \leq x\) alors \((u_n)\) est décroissante.
À toi de jouer : (Centres étrangers (sujet 2), 2022)
Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \(]0;+\infty[\) par
\[ f(x) = x \ln(x) + 1 \]
On définit la suite \((u_n)\) par son premier terme \(u_0\) élément de l’intervalle \(]0;1[\) et pour tout entier naturel \(n\) par :
\[ u_{n+1} = f(u_n) \]
i) \(\text{Montrer que pour tout réel } x \text{ strictement positif :}\)
\[ f(x) \geq x \]
ii) On suppose que pour tout entier naturel \(n\), on a \(0 < u_n < 1\). En déduire la croissance de la suite \((U_n)\).
Correction :
\(\text{Montrer que pour tout réel } x \text{ strictement positif :}\)
\[ f(x) \geq x \]
Pour tout réel \(x\) strictement positif, on pose \(g(x) = f(x) – x\).
Pour tout réel \(x\) strictement positif, \(g'(x) = \ln(x) + 1 – 1 = \ln(x)\).
Or \(\ln(x) \geq 0 \iff x \geq 1\).
Ainsi, on a le tableau de variation suivant :
Ainsi, pour tout réel \(x\) strictement positif, \(g(x) = f(x) – x \geq 0 \iff f(x) \geq x\).
\(\text{On suppose que pour tout entier naturel } n, \text{ on a } 0 < u_n < 1\). En déduire la croissance de la suite \(\ u_n \).
Pour tout réel \(x\) strictement positif, \(f(x) \geq x\).
De plus, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n > 0\).
Donc, pour tout entier naturel, \(f(u_n) > u_n\) donc \(u_{n+1} > u_n\). La suite \((u_n)\) est donc croissante.
Lire aussi : Les méthodes pour étudier le sens de variation d’une suite
Étudier la convergence d’une suite récurrente.
Si \(f\) est continue sur un intervalle fermé \(I\) et que la suite \((u_n)\) converge vers un réel \(l\), alors la limite est nécessairement un point fixe de \(f\), c’est-à-dire \(f(l) = l\).
Méthode
– \(\text{Montrer qu’il existe } f(l) = l\).
– \(\text{Résoudre l’équation } f(l) – l = 0\).
À toi de jouer (baccalauréat S Métropole, septembre 2018)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ f(x) = \frac{1}{2} x^2 – x + \frac{3}{2} \]
Soit \(a\) un réel positif.
On définit la suite \((u_n)\) par \(u_0 = a\) et, pour tout entier naturel \(n : u_{n+1} = f(u_n)\).
On suppose que la suite \((u_n)\) converge vers un réel \(l\).
i) \(\text{En remarquant que } u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n^2 – u_n + \frac{3}{2}, \text{ montrer que } l = \frac{1}{2} l^2 – l + \frac{3}{2}\).
ii) \(\text{Montrer que les valeurs possibles de } l \text{ sont } 1 \text{ et } 3\).
Correction
i) \(\text{En remarquant que } u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n^2 – u_n + \frac{3}{2}, \text{ montrer que } l = \frac{1}{2} l^2 – l + \frac{3}{2}\).
On sait que \(\ \lim \limits_{n \to + \infty} u_n = l\), alors \(\ \lim \limits_{n \to + \infty} u_n = \lim \limits_{n \to + \infty} u_{n+1} = l \).
Alors \(l = \frac{1}{2} l^2 – l + \frac{3}{2}\).
ii) \(\text{Montrer que les valeurs possibles de } l \text{ sont } 1 \text{ et } 3\).
\[ l = \frac{1}{2} l^2 – l + \frac{3}{2} \iff \frac{1}{2} l^2 – 2l + \frac{3}{2} = 0 \iff l^2 – 4l + 3 = 0 \iff (l-1)(l-3) = 0 \iff l = 1 \text{ et } l = 3 \]
Si la suite converge, elle ne peut que converger vers 1 ou 3.
On te conseille d’aller voir et étudier un cas pratique de suite contenant des récurrences : il s’agit de la suite de Fibonacci et du nombre d’or !
Lire aussi : La composition de fonctions
