Dans cet article, nous te proposons une démonstration de l’inégalité de Bernoulli très détaillée et parfaitement rédigée. Cette démonstration va se faire par récurrence.
Il s’agit d’une des démonstrations exigibles du bac (aussi appelée une “ROC” : restitution organisée de connaissances), donc à bien connaître !
Pour consulter les autres démonstrations exigibles, tu peux te référer à cet article.
Énoncé de l’inégalité de Bernoulli
Soit \(x \in \mathbb R^*_+\)
Démontrer que : \(\forall n \in \mathbb N, 1+nx \le (1+x)^n\).
Aide à la résolution – préliminaire
Il est intéressant de connaitre le résultat suivant :
- Lorsque l’on a \(0 \le B\) et \(A+B\), on peut minorer \(A+B\) par \(A\). Pour cela, il suffit de partir de
\(0 \le B\), puis d’additionner membre à membre de cette inégalité le terme \(A\) :
\(A \le A+B\)
Démonstration de l’inégalité de Bernoulli par récurrence
Montrons par récurrence que : \(\forall n \in \mathbb N, 1+nx \le (1+x)^n\)
- Pour \(n=0\)
On a :
\(1+0 \times x = 1 \)
et
\((1+x)^0=1\)
donc on en déduit que :
\(1+0\times x \le (1+x)^0\)
Ainsi, la propriété est vérifiée pour \(n=0\)
- Soit \(n \in \mathbb N\). Supposons que \(1+nx \le (1+x)^n\).
D’après l’hypothèse de récurrence, on a :
\(1+nx \le (1+x)^n\), d’où en multipliant par \((1+x) \ge 0\) :
\((1+nx)(1+x) \le (1+x)^n(1+x)\), d’où :
\(1+x+nx+nx^2 \le (1+x)^{n+1}\), i.e.
\(1+(n+1)x+nx^2 \le (1+x)^{n+1}\), or comme \(nx^2 \ge 0\), on peut écrire :
\(1+(n+1)x \le (1+x)^{n+1}\)
Donc, la propriété est vérifiée au rang \(n+1\)
- Ainsi, par principe de récurrence : \(\fbox{\(\forall n \in \mathbb N, 1+nx \le (1+x)^n\)}\)
Intérêt de l’inégalité de Bernoulli
Cette inégalité permet d’affirmer qu’une suite géométrique de raison \(1 + x\) et de premier terme \(u_{n_0}\) croît plus vite qu’une suite arithmétique de raison \(u_{n_0} \times t\). Cependant, en pratique, pour de petites valeurs de \(x\) et des valeurs raisonnables de \(n\), les deux suites sont quasiment confondues.
Bonus (figure au programme) démonstration de la limite de la suite géométrique \((q^n)\) avec \(q > 1\) à l’aide de l’inégalité de Bernoulli
Soit \(q \ge 1\), \(x \in \mathbb R^*_+\).
Comme \(x > 0\), on a :
\(x+1 > 1\), d’où, comme \(q > 1\), on peut poser : \(q=x+1\).
Donc d’après l’inégalité de Bernoulli, on peut écrire :
\(1+nx \le q^n\)
D’où, comme \(\lim \limits_{n \to +\infty}(1+nx)=+\infty\), d’après le théorème de comparaison (ou le théorème de prolongement des inégalités), on en déduit que :
\(\lim \limits_{n \to +\infty}q^n=+\infty\).
Ainsi :
\[\fbox{\(\forall q >1, \lim \limits_{n \to +\infty}q^n=+\infty\)}\]
Les écueils à éviter dans cette démonstration
- Pour l’inégalité de Bernoulli, ne surtout pas oublier comment faire la minoration, c’est à dire grâce au fait que : \(nx^2 \ge 0\)
- Pour la limite de la suite géométrique \((q^n)\), ne surtout pas oublier de préciser que \(x+1 > 1\) afin de poser \(q=x+1\) car sinon, ça n’est tout simplement pas possible ! (en effet, on a fixé \(q \ge 1\) au préalable. Son ensemble de définition est donc \(]1, +\infty[\)).
