Dans cet article, nous faisons le point sur les fonctions composées, c’est un chapitre qui est assez complexe mais il est essentiel si tu veux performer pour le baccalauréat.
Soit \(\ f \) une fonction définie de l’ensemble \(\ I \) dans l’ensemble \(\ J \) et \(\ g \) une fonction définie de l’ensemble \(\ J \) dans l’ensemble \(\ H \).
La composée de \(\ g \) par \(\ f \), définie de \(\ I \) dans \(\ H \), se note \(\ f \circ g\) ( et se lit \(\ f \) rond \(\ g\) ) : définie par \(\ f \circ g(x) = f(g(x)) \) avec pour tout \(\ x \) appartenant à \(\ I \).
Composer une fonction
Une fois cette définition comprise, il est très facile de composer n’importe quelle fonction par une autre.
À toi de jouer
1) Compose la fonction \(\ g \) par \(\ f \) grâce aux fonctions \(\ g \) et \(\ f \) définie pour tout réel\(\ x \) par \(\ g(x) = x^2 \) et pour tout réel \(\ x \) par \(\ f(x) = e^x\)
Pour composer \(\ g \) par \(\ f \), il suffit de prendre la définition de la composition de deux fonctions, c’est-à-dire pour tout réel \(\ x \), \(\ f \circ g(x) = f(g(x)) = f(x^2)=e^{x^2} \).
2) Une fois que tu as compris ceci, tu peux essayer de composer \(\ f \) par \(\ g\)
Dans ce cas c’est \(\ f \) qui est composée par \(\ g\). Ainsi, pour tout \(\ x \) réel, \(\ g \circ f(x) = g(f(x)) = g(e^x)= (e^x)^2= e^{2*x} \).
Remarque: Généralement, \(\ f \circ g (x) ≠ g \circ f (x) \).
3) Maintenant, compose \(\ g \) par \(\ f \) grâce aux fonctions \(\ g \) et \(\ f \) définies pour tout réel \(\ x \) par \(\ g(x) = x-2 \) et pour tout \(\ x ≥0\) par \(\ f(x) = \sqrt (x) \) (en se souciant du domaine de définition)
Rappel :
Le domaine de définition de \(\ f \circ g\) est l’ensemble défini par : \(\ x ∈ \mathcal{D}_{f \circ g} ⇔ { x ∈ \mathcal{D}_g et g (x) ∈ \mathcal{D}_f }\).
Autrement dit, \(\ x \) doit appartenir au domaine de définition de \(\ g \) et \(\ g (x) \) doit appartenir au domaine de définition de \(\ f \).
Par exemple, pour \(\ x =1 \), \(\ g(1) = 1-2 = -1 ≤0\). En effet, on voit bien que \(\ \sqrt (-1) \) n’existe pas, donc \(\ x \) ne peut pas être égale à 1.
Ici, \(\ g \) est définie sur \(\ R \), donc \(\ g \) est définie pour tout réel \(\ x \).
Dans ce cas, il faut trouver tous les \(\ x \) pour lesquels \(\ g (x) \) serait positif. Autrement dit il faut résoudre l’équation : \(\ x-2≥0 \). On trouve alors aisément \(\ x≥2\).
Alors, pour tout réel \(\ x≥2 \), \(\ f \circ g(x) = f(g(x)) = f(x-2) = \sqrt (x-2 ) \).
4) Compose maintenant \(\ f\) par \(\ g \)
Dans ce cas, on doit aussi se soucier du domaine de définition.
En effet \(\ g \) est définie lorsque \(\ x \) est positif, \(\ f \) est définie sur \(\ R \), or \(\ [0 ;+ \infty[ ⊂ R \).
Donc \(\ g \circ f\) est définie lorsque \(\ x \) est positif.
Ainsi pour tout \(\ x \) positif, \(\ g \circ f(x)= g(f(x)) = g(\sqrt(x))=\sqrt(x)-2 \).
5) Identifie la composée de cette fonction définie sur \(\ R \) : \(\ u(x) = ln(x^2 +1) \)
On observe que la fonction \(\ u \) est composée d’une fonction polynôme par la fonction \(\ ln \).
Donc \(\ u (x ) = ( v \circ w ) (x) \) avec \(\ w(x) = x^2 + 1 \) et par \(\ v (x ) = ln(x) \)
Lire aussi : Tout comprendre aux sommes
Dériver des fonctions composées
Pour dériver des fonctions composées, tu peux essayer de comprendre cette propriété : \(\ (𝑣(𝑢(𝑥)))’ = 𝑢′(𝑥) × 𝑣′(𝑢(𝑥)) \), sinon tu dois apprendre le tableau qui suit :
Remarque : en première et en terminale, il n’est pas nécessaire de justifier la dérivabilité.
| Fonction | Dérivée |
| \(\ u^n \) avec \(\ n ∈ Z*\) | \(\ n*u’u^{n-1} \) |
| \(\ e^u\) | \(\ u’e^u\) |
| \(\ ln(u) \) | \(\ \frac{u’}{u}\) |
| \(\ \sqrt(u) \) | \(\ \frac{u’}{2*\sqrt(u)} \) |
| \(\ cos(u) \) | \(\ – u’*sin(u) \) |
| \(\ sin(u) \) | \(\ u’*cos(u) \) |
À toi de jouer
Dérive la fonction \(\ f \) définie pour tout \(\ x \) réel par \(\ f (x) = e^{x^2} \). On admet que \(\ f \) est dérivable sur \(\ R \).
On observe que \(\ u \) est définie pour tout \(\ x\) réel par : \(\ u(x) = x^2 \), on a donc \(\ f (x) = e^{u(x)} \).
Ainsi, pour tout \(\ x \) réel, \(\ u’(x) = 2*x\).
Donc, pour tout \(\ x \) réel, \(\ f’(x) = u’(x)e^{u(x)} = 2*x*e^{x^2} \).
Le schéma est le même pour toutes les autres fonctions composées.
Lire aussi : Les méthodes pour étudier le sens de variation d’une suite
Calculer la primitive d’une fonction composée (partie réservée aux terminales)
| Fonction | Une primitive |
| \(\ 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) \) | \(\ \frac{1}{a} 𝐹(𝑎𝑥 + 𝑏) \)
où \(\ 𝐹 \) est une primitive de \(\ 𝑓 \) |
| \(\ 𝑢′𝑢^n \)
\(\ 𝑛 ∈ ℤ ∖ {−1} \) |
\(\ \frac{1}{n+1} u^{n+1} \) |
| \(\ 𝑢′e^u \) | \(\ e^{u} \) |
| \(\ \frac{u’}{u} \) | \(\ ln(│u│) \) |
| \(\ 𝑢’ cos (𝑢) \) | \(\ sin(u) \) |
| \(\ 𝑢’ sin (𝑢) \) | \(\ -cos(u) \) |
À toi de jouer :
Trouve une primitive de la fonction définie sur \(\ R \) par \(\ \frac{2x}{x^2+1} \).
On observe ainsi que \(\ u’(x) = 2x\) et que \(\ u(x) = x^2 +1\).
Une primitive de \(\ \frac{u’}{u} \) est de la forme \(\ ln( |u| ) \).
Donc une primitive de \(\ f \) est \(\ F(x) = ln( |u(x)| ) = ln (|x^2+1|) \).
Le schéma reste le même pour calculer une primitive des autres fonctions.
Lire aussi : Tout savoir sur les lois exponentielles
