Dans cet article, nous faisons le point avec toi sur les sommes, un chapitre de mathématiques à maîtriser sur le bout des doigts si tu espères décrocher une (très) bonne note le jour de l’examen du baccalauréat.
Les sommes de certaines suites telles que les suites géométriques et les suites arithmétiques sont vues en terminales alors que le symbole sigma n’est présenté que très brièvement. Pourtant il est très utilisé dans l’enseignement supérieur. Ainsi, cet article permet de revoir certains points clés et d’approfondir certaines notions très utilisées dans le supérieur.
La somme des nombres\(\ \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\ldots\alpha_n \)se note \(\ \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\ldots+\alpha_n \) ou encore \(\ \sum_{i=1}^{n}\alpha_i \)
Cette somme de nombre se lit : « somme des \(\ \alpha_i \)pour\(\ i \)allant de 0 à\(\ n \)».
Le symbole ne reste que très peu utilisé en classe de terminale contrairement à l’enseignement supérieur.
On peut généraliser cette somme, soit\(\ m \) et\(\ n \) appartenant à\(\ \mathbb{N} \) (avec \(\ m\ \)\le \(\ n \)).
On peut écrire la somme des entiers des\(\ \alpha_i \) pour\(\ i \) allant de\(\ m \) à n s’écrivant :\(\ \sum_{i=m}^{n}\alpha_i \).
Les sommes remarquables utilisées en terminale
- La somme des termes d’une suite arithmétiques:\(\ 1+2+\ldots+n=\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\ \) (Autrement dit la somme des entiers de 1 à\(\ n \) ).
- La somme des termes d’une suite géométrique : si\(\ q\neq1,\ \sum_{i=m}^{n}q^i=\frac{1-q^{n-m+1}}{1-q} \).
- Si q=1,\(\ \sum_{i=m}^{n}q^i=n-m+1 \) (à la limite du programme)
- Soit\(\ n\ \)un entier naturel. La formule du binôme de newton: \(\ \left(a+b\right)^n=\ \) \(\ \sum_{k=0}^{n}{{{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}} \).
Les formules suivantes ne sont pas au programme de terminales, mais elles sont très utilisées en études supérieures :
- La somme des carrés : \(\ 1^2+2^2+\ldots+n^2=\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n\left(n+1\right)(2n+1)}{6}\ \).
- La somme des cubes : \(\ 1^3+2^3+\ldots+n^3=\sum_{i=1}^{n}i^3=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2 \).
Lire aussi : Mathématiques : les croissances comparées
Exercices
La somme des termes d’une suite arithmétiques peut se démontrer par récurrence : \(\ 1+2+\ldots+n=\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\ \).
- Démontre par récurrence cette formule.
Soit\(\ P\left(n\right) \) la proposition définie par : \(\ P\left(n\right):\ll1+2+\ldots+n=\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\ \ \gg\ \).
Initialisation :
Pour\(\ n\ =\ 1, 1=\sum_{i=1}^{1}i=\frac{1\left(1+1\right)}{2}=1 \).
Hérédité :
Soit\(\ n \) un entier fixé non nul. Supposons\(\ P\left(n\right) \) vraie.
Montrons\(\ P(n+1) \), c’est-à-dire montrons que\(\ P\left(n+1\right)=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2} \).
On peut apercevoir que : \(\ 1+2+\ldots+n+\left(n+1\right)=\sum_{i=1}^{n}i+\left(n+1\right) \).
Or par hypothèse de récurrence :\(\ 1+2+\ldots+n=\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n\left(n+1\right)}{2} \).
Autrement dit:\(\ 1+2+\ldots+n+\left(n+1\right)=\sum_{i=1}^{n}i+\left(n+1\right)=\ \) \(\ \frac{n\left(n+1\right)}{2}+\left(n+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\frac{2(n+1)}{2}=\frac{n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)}{2}=\frac{\left(n+1\right)\left(2+n\right)}{2}\ \).
Ainsi\(\ P\left(n+1\right) \)est vraie.
Conclusion : Ainsi, pour tout entier naturel n non nul,\(\ \sum_{i=1}^{n}i=\frac{n\left(n+1\right)}{2} \).
- Calculer\(\ \sum_{i=2}^{n}\left(\frac{2}{3}\right)^i.\ \)
Or d’après la formule sur la somme des termes d’une suite géométrique:\(\ \sum_{i=m}^{n}q^i=\frac{1-q^{n-m+1}}{1-q} \).
Or\(\ q=\frac{2}{3} \),\(\ n \) reste\(\ n \), et\(\ m=2 \).
\(\ \sum_{i=2}^{n}{(\frac{2}{3})}^i=\frac{1-{(\frac{2}{3})}^{n-2+1}}{1-(\frac{2}{3})}=\frac{1-{(\frac{2}{3})}^{n-1}}{\frac{1}{3}}=3\ (1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1})\ \).
Remarque : Les parenthèses sont importantes dans\(\ \left(\frac{2}{3}\right)^i, \frac{2^i}{3} \) n’est pas le même nombre, en effet c’est le nombre:\(\ \frac{1}{3}\times2^i \).
- Retranscrire\(\ \left(1+p\right)^4 \) avec\(\ \Sigma \).
On sait que:\(\ \left(a+b\right)^n=\ \sum_{k=0}^{n}{{{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}} \).
On sait que dans ce cas-ci:\(\ a=1, b=p \) et\(\ n=4 \).
Donc\(\ \left(1+p\right)^4=\ \sum_{k=0}^{4}{{{4}\choose{k}}1^kp^{4-k}= {{4}\choose{0}}1^0p^{4-0}+\ {{4}\choose{1}}1^1p^{4-1}+\ {{4}\choose{2}}1^2p^{4-2}+\ {{4}\choose{3}}1^3p^{4-3}+\ {{4}\choose{4}}1^4p^{4-4}=p^4+\ 4p^3+6p^2+4p+1} \).
- Démontrer par la formule du binôme de Newton:\(\ \sum_{k=0}^{n}{{{n}\choose{k}}=2^n}\ \)
Or\(\ \sum_{k=0}^{n}{ {{n}\choose{k}}=\sum_{k=0}^{n}{ {{n}\choose{k}} 1^k1^{n-k}}} \), avec\(\ a=1 \) et\(\ b=1 \).
Ainsi,\(\ \sum_{k=0}^{n}{{{n}\choose{k}}1^k1^{n-k}}=\left(1+1\right)^n=2^n.\ \)
Pour aller plus loin
Cette somme contient\(\ n-m+1 \) termes (à la limite du programme), autrement la somme des\(\ {\underbrace{(\beta+\beta+\beta+\ldots+\beta)}}_\text{\(\ n \) fois} \) peut s’écrire\(\ \sum_{i=1}^{n}\beta \) qui égal à\(\ \beta\times n \) car\(\ \beta \) apparaît\(\ n \) fois dans la somme (autrement dit il y a\(\ n-1+1\ \) fois\(\ \beta \) )
💡 La lettre\(\ i \) dans cette somme est muette, c’est-à-dire que l’on peut la remplacer par n’importe quelle lettre sans que cela ne pose aucun problème sur la somme. En évitant d’utiliser déjà des lettres utilisées dans la somme ou déjà utilisé en mathématiques par exemple\(\ e \) ou\(\ \pi \).
Exercices
- À quoi est égale cette somme:\(\ \sum_{i=1}^{n}1 \) ?
\(\ \sum_{i=1}^{n}1={\underbrace{1+1+\ldots+1}}_\text{\(\ n \) fois}=\left(n-1+1\right)=n\ \)
- Et cette somme:\(\ \sum_{i=3}^{n-1}4? \) (à la limite du programme)
\(\ \sum_{i=3}^{n-1}4=4\times({n-1-3+1)=4(n-3)=4n-12} \)
- Écrivez la somme suivante\(\ 1+2+3+\ldots+n\ \)avec\(\ \Sigma \).
\(\ \sum_{i=1}^{n}i=1+2+3+\ldots+n \)
- Écrivez la somme suivante\(\ e^1+e^2+e^3+\ {\ldots+e}^n+e^{n+1}\ \) avec \(\ \Sigma \):
\(\ \sum_{i=1}^{n+1}e^i=e^1+e^2+e^3+\ {\ldots+e}^n+e^{n+1} \).
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