Dans cet article, tu vas apprendre comment dériver des fonctions composées
Pour rappel composition de fonctions est une opération mathématique qui consiste à remplacer la variable souvent appelée \(x\) de la première fonction appelée souvent \(f\) par l’expression représentant de la seconde fonction souvent appelée \(g\).
De fait, au lieu d’avoir “\(f (x)\)”, on va avoir “\(f ((g (x) )\)”. On utilisera parfois la notation “rond” : o pour désigner la composition de deux fonctions.
Donc on peut écrire la chose suivante :
\(\forall x \in \mathbb R, (f \circ g) (x) = f ((g (x) )\)
N’hésite pas à aller checker notre précédent article sur la dérivation : Tout savoir sur la dérivation (spécialité mathématiques)
Dérivation des fonctions composées
Soit deux fonctions \(h\) et \(u\) dérivables.
Le tableau ci-dessous montre les dérivées de fonctions \(f\) construites à partir de \(u\) ou de \(h\).
Le nombre \(n\) est un nombre rationnel (i.e. il s’agit du quotient de deux entiers).
Remarque
\({u(x)}\) peut aussi s’écrire sous la forme [\(u(x)\)]\(^{\frac{1}{2}}\).
On peut donc utiliser la seconde formule, avec \(n=\frac{1}{2}\).
Exemple
Si \(n=-1\), et si \(\forall x \in \mathbb R, f(x)=(u(x))^n\) ; alors \(\forall x \in \mathbb R, f'(x)=(-1) \: u'(x) \: (u(x))^{-2}\).
On a donc bien \(\forall x \in \mathbb R, f'(x)=-\frac{u'(x)}{(u(x))^2}\).
Ainsi, la dérivée de \(\frac{1}{u}\) est \(-\frac{u’}{u^2}\).
Dérivation des fonctions trigonométriques composées
- Si \(h\) (du tableau ci-dessus) est la fonction sinus, alors :
\(\forall x \in \mathbb R, f(x)=sin(ax+b)\Rightarrow f'(x)=a\:sin'(ax+b)\)
\(\: \: \:\:\:\:\:\:\: \:\:\: \: \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow f'(x)=a \: cos(ax+b)\)
- De même : \(f(x)=cos(ax+b)\Rightarrow f'(x)=-a\: sin(ax+b)\).
Remarque
On obtient des résultats similaires avec les fonctions logarithmes et exponentielles.
Lire aussi : Tout savoir sur la fonction logarithme et Tout savoir sur la fonction exponentielle
