Nous avons vu comment traiter un exercice d’étude de fonction dans cette fiche. Néanmoins, pour réaliser des études de fonctions, encore faut il maîtriser les fonctions de base. C’est pourquoi je vous propose une petite série d’articles qui vous permettront de revoir ces fonctions de base. Ici nous étudierons la fonction logarithme. Elle est définie grâce à la fonction exponentielle, vous trouverez une fiche ici, pour les fonctions sinus et cosinus, il faudra cliquer ici.
Ce qu’il faut maîtriser:
- la définition du logarithme
- son domaine de dérivabilité et sa dérivé
- connaître ses limites
Définition de la fonction logarithme
Commençons par regarder la définition de la fonction logarithme.
\(\forall x \in ]0; +\infty[\), l’équation \(x=e^y\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\) appelée logarithme népérien de x.Il est important de noter que la fonction logarithme n’est définie que sur l’ensemble des réels positifs. Cela vient de la définition de la fonction.
Puisque la fonction est définie par l’équation \(x=e^y\), et que quel que soit le réel y, \(e^y\) est positif, on en déduit que x est positif. Et donc que la fonction logarithme n’est définie que sur l’ensemble des réels strictement positifs.
Regardons la courbe représentative de la fonction
Propriétés de la fonction logarithme
En regardant le graphe de la fonction logarithme on peut remarquer quelques propriétés :
- elle est définie sur \(]0; + \infty[\)
- elle est croissante sur \(]0; + \infty[\)
- la fonction est à valeurs positives sur \(]1; + \infty[\)
- la fonction est à valeurs négatives sur \(]0; 1[\)
- on a \(ln(1)=0\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} ln(x) = +\infty\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} ln(x) = -\infty\)
Calcul de la dérivé et tableau de variation
La fonction logarithme est dérivable sur son domaine de définition, c’est à dire \(]0; + \infty[\).
$$ \forall x \in ]0; + \infty[, (ln(x))’= \frac{1}{x} $$
En regroupant cela avec les propriétés évoquées précédemment, on en déduit le tableau de variation suivant
Calculer avec la fonction logarithme
On peut manipuler la fonction logarithme en appliquant les règles suivantes :
- \(ln(ab)=ln(a) + ln(b)\)
- \(ln(\frac{1}{b})=-ln(b)\)
- \(ln(a^{\alpha})= \alpha ln(a)\), avec \(\alpha \in \mathbb{Q}\)
- \(ln(\frac{a}{b})= ln(a)-ln(b)\)
Lien entre la fonction exponentielle et la fonction logarithme
La fonction exponentielle et la fonction logarithme sont des fonctions réciproques. C’est à dire qu’on a les égalités suivantes :
$$\forall x \in \mathbb{R}, ln(e^x)=x$$
$$\forall y >0, e(ln^y)=y$$
On peut visualiser ces résultats en regardant les graphiques des 2 fonctions.
Croissances comparées et taux d’accroissement
Certaines croissances comparées sont à connaître par coeur.
Quel que soit \(n \in \mathbb{N*}\).
$$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{ln(x)}{x^n} = 0$$
$$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^n}{ln(x)} = +\infty$$
$$ \lim\limits_{x \rightarrow 0} x^n ln(x) = 0$$
Pour calculer des limites en zéro il faut se souvenir du taux d’accroissement.
$$ \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{ln(x)}{x-1}= 1$$
$$ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{ln(x+1)}{x}= 1$$
Pour vous entraîner à l’épreuve de mathématiques, n’hésitez pas à consulter le corrigé du bac de maths S 2018 disponible ici ou le sujet de 2019 qui est disponible avec son corrigé ici.
