Dans cet article, nous allons voir ce que sont les croissances comparées.
Tout d’abord, les croissances comparées te serviront à déterminer la limite d’une suite ou d’une fonction en un point et en ± ∞. En effet, lorsque tu dois trouver la limite d’une forme “indéterminée”, les croissances comparées te permettront de lever cette indétermination.
Voici donc les croissances comparées que tu devras connaitre absolument pour le bac. Si tu a vraiment du mal à les apprendre, tu peux trouver un moyen mémo-technique pour les retrouver à chaque fois que tu en as besoin, mais cela ne doit pas te prendre trop de temps.
Soit \(n\) un nombre entier strictement positif ,
- \(\lim \limits_{x \to +\infty}\frac{e^x}{x} = +\infty\)
- \(\lim \limits_{x \to -\infty}x^ne^x = 0\)
- \(\lim \limits_{x \to +\infty}\frac{ln(x)}{x^n} = 0\)
- \(\lim \limits_{x \to 0}x^nln(x) = 0\)
Démonstration à connaître
Parmi ces croissances comparées, il est essentiel de savoir démontrer la 1ère.
Pour cela, tu peux décomposer la démonstration en plusieurs étapes.
En général, pour montrer qu’une fonction tend vers + ∞, on peut la minorer par une fonction que l’on connait et qui tend vers + ∞. Ici on va prendre \(e^x > \frac{x^2}{2}\)
Soit \(x \in \mathbb R\)
1.On pose \(f(x) = e^x – \frac{x^2}{2}\)
On a \(f'(x) = e^x – x\), mais on ne sait pas étudier le signe de cette fonction donc on regarde celui de la dérivée seconde:
\(f”(x) = e^x – 1\).
Or \(e^x – 1 > 0 \Leftrightarrow e^x > 1 \Leftrightarrow x > ln(1) = 0 \) (car ln est une fonction croissante sur \(\mathbb R^*_+\))
Comme on cherche une limite en + ∞, on peut regarder seulement sur \([0;+\infty]\). Donc on a bien \(x > 0 \) et donc \(f”(x) > 0\).
Ainsi, \(f’\) est croissante sur \([0;+\infty]\).
De plus, \(f(0) = e^0 – 1 = 0\) donc \(f'(x) > 0\) sur \([0;+\infty]\).
Donc \(f \) est croissante sur \([0;+\infty]\).
De plus, \(f(0) = 1\) donc \(f(x) = e^x – \frac{x^2}{2} > 0\) sur \([0;+\infty]\).
2.Donc \(e^x > \frac{x^2}{2}\) sur \([0;+\infty]\).
Ainsi, on a \(\frac{e^x}{x} > \frac{x}{2} \) (car x > 0)
3.Or, on sait que \(\lim \limits_{x \to +\infty}\frac{x}{2} = +\infty\)
Ainsi, par le théorème de minoration, on a \(\lim \limits_{x \to +\infty}\frac{e^x}{x} = +\infty\).
