Étudier le sens de variation d’une suite permet de comprendre son comportement et son évolution. Si tu es en terminale, cet article est fait pour toi, tu verras quatre méthodes (y compris la récurrence) permettant d’étudier la monotonie des suites.
On dit qu’une suite est monotone lorsqu’elle est croissante, décroissante ou constante.
Soit\(\ (𝑢_𝑛) \) une suite définie sur\(\ N \):
- \(\ (𝑢_𝑛) \) est croissante si et seulement si\(\ ∀𝑛 ∈ N, 𝑢_{𝑛 + 1} ≥ 𝑢_𝑛 \).
- \(\ (𝑢_𝑛 ) \) est décroissante si et seulement si\(\ ∀𝑛 ∈ N, 𝑢_{𝑛 + 1} ≤ 𝑢_𝑛 \).
Tu pourras utiliser quatre méthodes pour étudier le comportement d’une suite.
Étudier le signe de\(\ 𝒖_{𝒏 + 𝟏} − 𝒖_𝒏 \)
La méthode la plus courante que tu peux utiliser est d’étudier le signe de\(\ 𝒖_{𝒏 + 𝟏}−𝒖_𝒏 \):
• Si\(\ ∀𝑛∈N,𝑢_{𝑛+1}−𝑢_𝑛≥0 \) alors\(\ (𝑢_𝑛) \) est croissante.
• Si\(\ ∀𝑛∈N,𝑢_{𝑛+1}−𝑢_𝑛≤0 \) alors\(\ (𝑢_𝑛) \) est décroissante.
Exemple : Pour définir le sens de variation de la suite\(\ (𝑢_𝑛 ) \) définie par\(\ 𝑢_0 = −2 \) pour tout\(\ 𝑛 \) appartenant à\(\ N, 𝑢_{𝑛 + 1} = 2𝑛^2 + 𝑢_𝑛 \), on montre que pour tout 𝑛 appartenant à\(\ N, 𝑢_{𝑛 + 1} − 𝑢_𝑛 = 2𝑛^2 + 𝑢_𝑛 − 𝑢_𝑛 = 2𝑛^2 ≥ 0 \).
Ainsi, on peut dire que la suite\(\ (𝑢_𝑛) \)est croissante.
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Comparer\(\ \frac{𝒖_{𝒏+𝟏}}{𝒖_𝒏} \) à 𝟏
Tu peux aussi comparer\(\ \frac{𝒖_{𝒏+𝟏}}{𝒖_𝒏} \) à 𝟏 ( avec \(\ ∀𝑛∈N,𝑢_𝑛>0 \)).
- Si\(\ ∀𝑛 ∈ N, \frac {𝑢_{𝑛 + 1}}{𝑢_𝑛} ≥ 1 \) alors\(\ (𝑢_𝑛) \) est croissante.
- Si\(\ ∀𝑛 ∈ N, \frac {𝑢_{𝑛 + 1}}{𝑢_𝑛} ≤ 1 \) alors \(\ (𝑢_𝑛) \) est décroissante.
Exemple : Pour définir le sens de variation de la suite\(\ (𝑣_𝑛 ) \) définie par pour tout 𝑛 appartenant à\(\ N^∗,𝑣_𝑛=\frac {2^𝑛}{𝑛} \), on peut montrer que pour tout\(\ 𝑛≥1, \frac{𝑣_{𝑛+1}}{𝑣_𝑛} = \frac{2𝑛}{𝑛 + 1} ≥ 1 \).
Ainsi, on sait que la suite\(\ (𝑣_𝑛) \) est croissante.
Les suites définies par\(\ ∀𝒏 ∈ N, 𝒖_𝒏 = 𝒇(𝒏) \)
Si la suite est définie de manière explicite par\(\ ∀𝑛 ∈ N, 𝑢_𝑛 = 𝑓(𝑛) \):
- Si la fonction\(\ 𝑓 \) est croissante sur\(\ [0, +∞[ \), alors\(\ (𝑢_𝑛) \) est croissante.
- Si la fonction\(\ 𝑓 \) est décroissante sur\(\ [0, +∞[ \), alors\(\ (𝑢_𝑛) \) est décroissante.
Exemple : Pour déterminer le sens de variation de la suite\(\ (𝑣_𝑛 ) \) définie sur\(\ N \)par :\(\ 𝑣_𝑛 = 2𝑛^2 + 𝑛 − 3 \).
On peut dire que pour tout entier naturel\(\ 𝑛 : 𝑣_𝑛 = 𝑓(𝑛) \) où 𝑓 est la fonction définie sur\(\ [0, +∞[ \) par \(\ 𝑓(𝑥) = 2𝑥^2 + 𝑥 − 3 \).
Ici, on cherche les variations de la fonction sur\(\ [0, +∞[ \), avec pour tout\(\ 𝑥, 𝑓^′ (𝑥) = 4𝑥 + 1 \).
Ainsi, avec un tableau de variations on remarquerait que la fonction 𝑓 est croissante sur\(\ [0, +∞[ \), alors la suite\(\ (𝑢_𝑛) \) est croissante.
Raisonner par récurrence
Tu peux aussi déterminer la monotonie d’une suite\(\ (𝑢_𝑛 ) \) en raisonnant par récurrence.
Dans l’exemple suivant, je te montre une méthode type pour raisonner de cette façon :
Soit\(\ (𝑢_𝑛) \) la suite définie par\(\ 𝑢_1 = 3 \) et, pour tout entier naturel\(\ 𝑛 ≥ 1, 𝑢_{𝑛 + 1} = 0,9𝑢_𝑛 + 1,3 \).
Montrons par récurrence que la suite\(\ (𝑢_𝑛 ) \)est croissante.
Soit\(\ 𝑃(𝑛) \) la propriété définie pour tout entier naturel\(\ 𝑛 ≥ 1 \) par : \(\ « 𝑢_{𝑛 + 1} ≥ 𝑢_𝑛 »\).
Initialisation : pour\(\ 𝑛 = 1 \).
\(\ 𝑢_1 = 3 \) et \(\ 𝑢_2 = 4 \), alors \(\ 𝑢_2 ≥ 𝑢_1 \).
\(\ 𝑃(1) \) est vraie.
Hérédité : Soit 𝑛 un entier fixé. Supposons\(\ 𝑃(𝑛) \)est vraie. Montrons\(\ 𝑃(𝑛 + 1) \), c’est-à-dire\(\ 𝑢_{𝑛 + 2} ≥ 𝑢_{𝑛 + 1} \).
On a\(\ 𝑢_{𝑛 + 1} ≥ 𝑢_𝑛 \) par hypothèse de récurrence.
Or\(\ 0,9 ≥ 0 \), donc \(\ 0,9 ∗ 𝑢_{𝑛 + 1} + 1,3 ≥ 0,9𝑢_𝑛 + 1,3 \).
Ainsi\(\ 𝑢_{𝑛 + 2} ≥ 𝑢_{𝑛 + 1} \). Donc \(\ 𝑃(𝑛 + 1) \) est vraie.
Conclusion : pour tout entier naturel\(\ 𝑛 ≥ 1, « 𝑢_{𝑛 +1} ≥ 𝑢_𝑛 » \).
Donc la suite \(\ (𝑢_𝑛 ) \)est croissante.
