Les fonctions polynomiales sont au cœur de l’algèbre et de l’analyse : elles permettent de modéliser des phénomènes naturels, de résoudre des équations, d’étudier des variations et d’aborder les bases de la factorisation. Il faut que tu comprennes leurs propriétés fondamentales et que tu saches les représenter graphiquement ! Tu t’en serviras autant au lycée qu’en études supérieures.
Définir une fonction polynomiale
Une fonction polynomiale est une fonction définie par une expression algébrique de la forme :
\( f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \)
où les coefficients \( a_0, a_1, \dots, a_n \) sont des réels (ou des rationnels), et \( n \) est un entier naturel appelé le degré du polynôme.
Exemples :
- Degré 1 (fonction affine) : \( f(x) = 2x + 5 \)
- Degré 2 (quadratique) : \( f(x) = x^2 – 4x + 3 \)
- Degré 3 (cubique) : \( f(x) = x^3 – x \)
Un polynôme se distingue des autres fonctions par le fait que la variable x n’apparait jamais à une puissance négative, fractionnaire ou avec un dénominateur dans l’expression.
Propriétés essentielles des fonctions polynomiales
Continuité et dérivabilité
Les fonctions polynomiales sont continues et dérivables partout sur ℝ.
Symétrie
- Si tous les exposants sont pairs, fonction paire.
- Si tous les exposants sont impairs, fonction impaire.
Étude complète d’une fonction polynomiale
- Détermination du domaine
Les fonctions polynomiales sont partout définies sur ℝ.
- Calcul des racines
On recherche les solutions de \( f(x) = 0 \)
- Pour les degrés ≤ 2, on utilise factorisation, discriminant.
- Pour les degrés ≥ 3, on peut chercher des racines entières/éventuelles grâce à la méthode de Horner ou des méthodes numériques
- Etude des variations
On calcule la dérivée \( f’(x) = 0 \), puis on résout \( f’(x) = 0 \) pour trouver les extremums.
- Signe du polynôme
À partir des racines, on repère les intervalles où \( f(x) \) est positif ou négatif.
- Sens de variation
Le signe de la dérivée donne les intervalles de croissance ou décroissance.
Graphique des fonctions polynomiales
Représenter graphiquement une fonction polynomiale, c’est :
- Identifier les zéros
Les points où la courbe coupe l’axe des abscisses sont les solutions de \( f(x) = 0 \)
- Étudier la forme générale
- Degré 1 : droite.
- Degré 2 : parabole (vers le haut si le coefficient principal est positif, vers le bas s’il est négatif).
- Degré 3 et plus : courbe pouvant avoir plusieurs coudes, changements de direction, points d’inflexion
- Symétrie et comportement asymptotique
Le comportement à l’infini dépend du signe et du degré du terme dominant \( a_nx^n \)
- Points remarquables
- Sommet (pour \( n = 2 \) ) : \( x_S = \frac{- b}{2a}, y_S = f(x_S) \)
- Intersection avec les axes :
- Ordonnée à l’origine : \( f(0) = a_0 \)
- Abscisses pour \( f(x) = 0 \)
Factoriser une fonction polynomiale
La factorisation d’un polynôme consiste à l’écrire comme un produit de polynômes de degrés inférieurs, idéalement irréductibles.
- Recherche et utilisation des racines
Toute racine réelle x = r donne un facteur \( (x – r) \)
- Factorisation du second degré
Selon le discriminant :
- \( \Delta > 0: a(x – x_1)(x – x_2) \)
- \( \Delta = 0: a(x – x_0)^2 \)
- \( \Delta < 0: \text{impossible sur } \mathbb{R}, \text{ possible sur } \mathbb{C} \text{(racines complexes conjuguées)} \)
- Factorisation du troisième ou quatrième degré et plus
- Recherche de racines évidentes ou rationnelles.
- Division par Horner ou synthétique.
- Décomposition successive jusqu’à l’obtention de facteurs irréductibles sur ℝ ou ℂ.
- Factorisation dans le cas général
Tout polynôme se factorise (unicité à association près) en produit de polynômes irréductibles, à la manière de la décomposition en facteurs premiers pour les entiers
Applications pratiques
Les fonctions polynomiales interviennent :
- En physique (lois de mouvement, courbes de trajectoires)
- En économie (modélisation de la croissance, profit, coût marginal)
- En ingénierie (approximation de fonctions complexes)
- Pour le calcul numérique (méthode des moindres carrés, interpolation)
- En cryptographie (polynômes irréductibles pour la sécurité des codes)
Exercice guidé : tracer et analyser une fonction
Soit \( f(x) = x^2 – 4x + 3 \).
- Déterminer le discriminant et les racines.
- Factoriser \( f \).
- Étudier le signe de \( f \).
- Tracer la parabole associée à \( f \).
Correction :
- \( \Delta = (-4)^2 – 4 \times 1 \times 3 = 16 – 12 = 4 \)
- \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \)
- \( f(x) = (x – 1)(x – 3) \)
- Tableau de signe : \( f(x) > 0 \) si \( x < 1 \) ou \( x > 3 \), \( f(x) < 0 \) entre 1 et 3
