Tout savoir sur la suite de Fibonacci et le nombre d’or

Suite de Fibonacci et nombre d'or

Au sommaire de cet article 👀

Dans cet article, nous allons travailler ensemble sur une notion fondamentale en mathématiques : la suite de Fibonacci et le nombre d’or ! Tu vas retrouver ces deux notions dans de nombreux concepts et théorèmes mathématiques, il est donc primordial de les comprendre et de savoir les utiliser. Cet article est justement là pour te permettre de maîtriser toutes les propriétés et astuces autour des suites de Fibonacci. Tu pourras même t’entraîner avec deux exercices corrigés à la fin de cet article !

Qu’est-ce que la suite de Fibonacci ?

Tu connais déjà de nombreuses suites depuis le collège, telles que les suites arithmétiques et géométriques, mais la suite de Fibonacci est une suite bien particulière, puisqu’elle est définie par une relation de récurrence. En effet, elle est définie par la relation suivante pour tout entier naturel \( n \):

\[
\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} , \, F_0 = 0, \, F_1 = 1, \text{ et pour tout } n \geq 2, \, F_n = F_{n-1} + F_{n-2}.
\]

On retient souvent les premiers termes de la suite de Fibonacci qui sont les suivants :

\[
\begin{array}{c}
F_0 = 0, \, F_1 = 1, \, F_2 = 1, \, F_3 = 2 \
F_4 = 3, \, F_5 = 5, \\
F_6 = 8, \, F_7 = 13 \
F_8 = 21, \, F_9 = 34
\end{array}
\]

Si on prend \( F_3 \), on a bien \( F_3 = 1+ 1 = F_2 + F_1 \).

⚠️ Attention à ne pas faire d’erreur de rédaction dans tes calculs, surtout dans les matières scientifiques !

Propriétés d’une suite de Fibonacci

Sens de variation

La suite de Fibonacci est une suite croissante pour tout entier naturel \( n \) et elle est strictement croissante tout \( n \geq 2 \), donc à partir de \( F_2 \). Autrement dit, pour tout \( n \geq 2 \), on a :

\[
F_n – F_{n-1} > 0 \quad \Leftrightarrow \quad F_n > F_{n-1}
\]

On peut ajouter que la suite de Fibonacci connaît une croissance exponentielle, autrement dit plus \( n \) est grand plus les valeurs de \( F_n \) seront importantes. Par exemple, F

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Suite récurrente linéaire double

La suite de Fibonacci est une suite récurrente linéaire double pour tout \( n \geq 2 \). Une suite est dite récurrente linéaire double, s’il existe \( a \) et \( b \) deux réels tels que pour tout entier \( n \) on a :

\( \displaystyle u_n+2 = a \times u_{n+1} + b \times u_n \)

Or, on voit bien que la suite de Fibonacci \( \displaystyle F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \) est d’une forme similaire.

Qu’est ce que le nombre d’or ?

Le nombre d’or est une constante mathématique et un nombre irrationnel, noté \( \displaystyle \phi \). Il est défini par la relation suivante :

\[ \displaystyle \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \]
\[ \displaystyle \phi \simeq 1.6180339 \]

On parle de nombre irrationnel lorsque la valeur décimale de ce nombre est « infinie ». Ainsi, les nombres \( \pi \), l’exponentielle et \( \displaystyle \sqrt{3} \) sont aussi des nombres irrationnels, mais il en existe une infinité.

Mais, le nombre d’or est intimement lié à la suite de Fibonacci, car lorsque l’on calcule le quotient de deux nombres successifs de la suite et que l’on fait tendre \( n \) vers \( \displaystyle +\infty \) alors ce quotient tend vers le nombre d’or, \( \displaystyle \phi \). On a donc, lorsque \( n \) tend vers \( \displaystyle +\infty \) :

\[ \displaystyle \frac{F_n}{F_{n+1}} \to \phi \]

La spirale de Fibonacci

La spirale de Fibonacci est un dessin géométrique formé à partir des différentes valeurs de la suite de Fibonacci. Tu peux en retrouver un exemple sur l’image de couverture au début de l’article que je te remets ci-dessous :

Suite de Fibonacci et nombre d'or

En réalité, cette figure est une succession de carrés, dont chaque côté correspond à une valeur de la suite de Fibonacci. On a donc un carré de côté \( F_1 = 1 \), suivi d’un carré de côté \( F_2 = 1 \), d’un carré de côté \( F_3 = 2 \), d’un carré de côté \( F_4 = 3 \), et ainsi de suite.

Chaque nouveau carré est disposé à côté du précédent dans une direction différente : au-dessus, à droite, en bas, à gauche. Cette disposition est répétée à l’infini !

En traçant alors un arc de cercle entre deux sommets opposés dans chaque carré et en ne relevant pas le crayon, on obtient alors cette spirale de Fibonacci.

Ainsi, on retrouve cette spirale et par conséquent la suite de Fibonacci dans de multiples objets et choses de notre vie courante tel que la coquille des escargots, les coquillages ou encore les pommes de pins. Par ailleurs, pour en apprendre plus sur l’impact de la suite de Fibonacci dans notre vie, je te recommande cette vidéo extrêmement intéressante de National Geographic : la suite de Fibonacci.

Exercices d’entraînement

Exercice 1 : problème sur la suite de Fibonacci

Pierre a un parc d’attractions dans lequel il souhaite aménager un jardin en suivant les valeurs de la suite de Fibonacci. Il pose un premier carré d’herbes de côté \( F_1 = 1 \) (en cm), puis un autre carré d’herbe de côté \( F_2 = 1 \) et ainsi de suite. Attention, Pierre ne pose un carré d’herbes uniquement collé à un autre carré et dans la direction suivante (au-dessus, à droite, en bas, à gauche).

  1. Calcule les 8 premiers termes de la suite de Fibonacci.
  2. Quelle est l’aire cumulée des 4 premiers carrés d’herbes posés dans le jardin ?
  3. Quelle sera la forme du jardin de Pierre ?

Exercice 2 : Somme de termes sur la suite de Fibonacci et le nombre d’or

Soit la suite de Fibonacci définie par :

\[
\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} , \, F_0 = 0, \, F_1 = 1, \text{ et pour tout } n \geq 2, \, F_n = F_{n-1} + F_{n-2}.
\]

  1. Démontre, par récurrence, que la somme des \( n \) premiers termes de la suite est équivalente à :
    \[ \displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n} F_k = F_{n+2} – 1 \]
  2. Montre que le nombre d’or, \( \phi \) est la solution de l’équation :
    \[ \displaystyle x^2 = x + 1 \]

Correction des exercices

Corrigé de l’exercice 1

  1. À partir de la définition de la suite de Fibonacci, on peut calculer les 8 premiers termes de la suite et on a donc les résultats suivants :
    \[ \begin{align} F_0 &= 0, \\
    F_1 &= 1, \\
    F_2 &= F_1 + F_0 = 1 + 0 = 1, \\
    F_3 &= F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2, \\
    F_4 &= F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3, \\
    F_5 &= F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5, \\
    F_6 &= F_5 + F_4 = 5 + 3 = 8, \\
    F_7 &= F_6 + F_5 = 8 + 5 = 13.
    \end{align} \]
  2. L’aire d’un carré est égale à côté \( \times \) côté. Ainsi, l’aire de chaque carré d’herbes est égale au carré de son côté. En posant \( A_k \), l’aire du k-ème carré d’herbes, on a donc pour les 4 premiers carrés d’herbes :
    \( \begin{align} A_1 &= F_1^2 = 1^2 = 1, \\
    A_2 &= F_2^2 = 1^2 = 1, \\
    A_3 &= F_3^2 = 2^2 = 4, \\
    A_4 &= F_4^2 = 3^2 = 9. \end{align} \)

    Or \( \displaystyle A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = 1 + 1 + 4 + 9 = 15 \).
    L’aire cumulée des quatre premiers carrés est \( 15 \, \text{cm}^2 \).
  3. Pierre suit une disposition (au-dessus, à droite, en bas, à gauche) lorsqu’il pose un carré de côté équivalent à la suite de Fibonacci. Tu l’as donc bien compris, le jardin du parc de Pierre aura la forme d’une spirale de Fibonacci.

Corrigé de l’exercice 2

  1. On raisonne par récurrence :

Initialisation : pour \( n = 0 \), \( S_0 = F_0 = 0 \). Or d’autre part, \( \displaystyle F_{0+2} – 1 = F_2 – 1 = 1 – 1 = 0 \). On a donc bien :

\[ S_0 = F_{0+2} – 1 = 0 \]

La propriété est initialisée.

On passe à l’Hérédité : Supposons que la propriété est vraie à partir d’un certain entier naturel \( n \), tel que :

\[ \displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n} F_k = F_{n+2} – 1 \]

Montrons alors que cette propriété est encore vraie au rang \( n + 1 \), tel que :

\[ \displaystyle S_{k+1} = \sum_{i=0}^{k+1} F_i = F_{k+3} – 1 \]

On commence par écrire à nouveau \( S_{k+1} \) sous une autre forme :

\[ \displaystyle S_{k+1} = \sum_{i=0}^{k+1} F_i = \left( \sum_{i=0}^{k} F_i \right) + F_{k+1} \]

D’après l’hypothèse de récurrence, on a donc :

\[ S_{k+1} = (F_{k+2} – 1) + F_{k+1} \]

\[ S_{k+1} = F_{k+2} + F_{k+1} – 1. \]

Or d’après la définition de la suite de Fibonacci, on sait que \( F_{k+2} = F_{k+1} + F_k \). D’où :

\[ S_{k+1} = (F_{k+1} + F_k) + F_{k+1} – 1 = 2F_{k+1} + F_k – 1 \]

Or on sait aussi que \( F_{k+3} = F_{k+2} + F_{k+1} \). En remplaçant par la valeur trouvée de \( F_{k+2} \) on obtient alors :
\[ \displaystyle F_{k+3} = (F_{k+1} + F_k) + F_{k+1} = 2F_{k+1} + F_k. \]

On a donc bien :

\[ \displaystyle S_{k+1} = \sum_{i=0}^{k+1} F_i = F_{k+3} – 1 \]

Comme la proposition est initialisée et héréditaire, on a bien démontré par récurrence qu’elle est vraie \( \text{tous les entiers } n \geq 0 \).

2. Pour la deuxième question, on commence par rappeler la valeur du nombre d’or \( \phi \).

\[ \displaystyle \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \]

Calculons alors la valeur de \( \phi^2 \)

\[ \displaystyle \phi^2 = \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^2 = \frac{(1 + \sqrt{5})^2}{4} = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \]

On a donc bien : \( \phi^2 = \phi + 1 \)

On en conclut que le nombre d’or, \( \phi \) est la solution de l’équation : \( \displaystyle x^2 = x + 1 \).

Conclusion

Voilà, tu connais maintenant tout sur la suite de Fibonacci et le nombre d’or ! Tu es désormais capable d’expliquer de quoi il s’agit, de donner les propriétés des suites de Fibonacci et de comprendre son lien avec le nombre d’or. Tu t’es même entraîné avec deux exercices ! J’espère que cet article t’a plu. Tu peux retrouver ici toutes nos autres ressources mathématiques et lire ce super article sur les techniques de conversion des unités de longueur !

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