Cet article te permettra d’approfondir tes connaissances en géométrie. Si tu n’as pas vu l’article sur les représentations paramétriques des droites, je t’invite à le faire ! Aujourd’hui, on va voir les équations cartésiennes d’un plan, c’est un chapitre au programme pour le baccalauréat donc tu peux être interrogé dessus.
Déterminer une équation cartésienne d’un plan P
L’espace est muni d’un repère orthonormé. Soit \(P\) un plan de vecteur normal \(\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) et passant par un point \(A(x_A; y_A; z_A)\), alors une équation cartésienne de \(P\) est de la forme \(ax + by + cz + d = 0\), où \(d\) est un réel. Or, \(A(x_A; y_A; z_A)\) appartient à \(P\), donc \(d = -ax_A – by_A – cz_A\).
Remarque : un plan admet une infinité d’équations cartésiennes.
À toi de jouer : (d’après le baccalauréat 2023)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\), on considère :
le plan \(P_1\) passant par le point \(B(1 ; 1 ; 2)\) et dont un vecteur normal est \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\).
Détermine une équation cartésienne du plan \(P_1\)
\(1 \times x – 1 \times y + 1 \times z + d = 0\), où \(d\) est un réel.
Cherchons la valeur de \(d\). Ici, \(B(1 ; 1 ; 2)\) appartient à \(P_1\), donc par identification, on a \(x = 1\), \(y = 1\), et \(z = 2\), alors \(\ 1 – 1 + 2 + d = 0 \Leftrightarrow d = -2\).
Ainsi, une équation cartésienne du plan \(P_1\) est \(x – y + z – 2 = 0\).
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Montrer qu’un point appartient à un plan
Soit \(A(x, y, z)\) un point, pour vérifier que ce point appartient à un plan \(P\), il suffit de regarder si les coordonnées du point \(A\) vérifient l’équation cartésienne.
À toi de jouer (d’après le sujet 2 du baccalauréat de septembre)
L’espace est muni d’un repère orthonormé.
On considère :
le plan \(P\) d’équation cartésienne : \(3x + 2y + z – 4 = 0\);
Lequel des points suivants appartient au plan \(P\) ?
a. \(R(1 ; -3 ; 1)\) ; b. \(S(1 ; 2 ; -1)\) ; c. \(T (1 ; 0 ; 1)\) ; d. \(U (2 ; -1 ; 1)\).
\(3 \times 1 + 2 \times (-3) + 1 – 4 = -6 \neq 0\), donc \(R(1 ; -3 ; 1)\) n’appartient pas à ce plan.
\(3 \times 1 + 2 \times 2 – 1 – 4 = 2 \neq 0\), donc \(S(1 ; 2 ; -1)\) n’appartient pas à ce plan.
\(3 \times 1 + 2 \times 0 + 1 – 4 = 0\), donc \(T (1 ; 0 ; 1)\) appartient à ce plan.
\(3 \times 2 + 2 \times (-1) + 1 – 4 = 1\), donc \(U (2 ; -1 ; 1)\) n’appartient pas à ce plan.
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Trouver les coordonnées d’un point appartenant à un plan
Trouve les coordonnées d’un point appartenant au plan d’équation cartésienne \(x + 3y + 2z = -2\).
Posons \(x = 0\) et \(y = 0\), on a donc \(0 + 3 \times 0 + 2z = -2\), autrement dit, on a \(z = -1\).
Le point \(A(0,0,-1)\) appartient donc à ce plan.
Remarque : si on pose \(y = 1\) et \(z = 0\), on observe que \(x = -5\). Donc le point \(B(-5,1,0)\) appartient aussi à ce plan.
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Déterminer un vecteur normal à un plan grâce à une équation cartésienne
Il suffit de faire une identification des coefficients.
Détermine un vecteur normal au plan d’équation cartésienne \(2x + 7y + 2 = 0\).
Par identification, on trouve que \(a = 2\), \(b = 7\), et \(c = 0\), on a donc \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}\).
Attention : \(2x + 7y + 2\) est équivalent à \(2x + 7y + 0z + 2 = 0\).
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