L’intégration par parties est une notion essentielle si tu souhaites avoir une (très) bonne note au baccalauréat. Si tu rencontres des difficultés avec cette partie du programme ou si tu prends de l’avance pour le baccalauréat, cet article est fait pour toi.
Définition d’une intégration par parties
Soit \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\) telles que \(u’\) et \(v’\) soient continues sur \(I\). Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que \(a<b\) :
Alors, on a :
\[ \int_a^b u'(x)v(x) \, dx = [u(x)v(x)]_a^b – \int_a^b u(x)v'(x) \, dx \]
\(\text{Démonstration}:\)
La démonstration est facile à comprendre :
Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables sur l’intervalle \([a,b]\), elles sont donc continues.
Donc pour tout réel \(x \in [a;b]\), \((uv)’\) \((x)=u’v(x)+uv'(x)\).
Les fonctions \(uv’\), \(u’v\) et \((uv)’\) sont continues sur l’intervalle \([a;b]\), alors elles ont des primitives.
Donc \(\int_a^b (uv)’\) \((x)dx = \int_a^b (u’v+uv’)’\) \((x)dx = \int_a^b u’v\) \((x)+ \int_a^b uv’\) \((x)\), par linéarité de l’intégrale.
On obtient donc, \([u(x)v(x)]_a^b = \int_a^b u’\) \((x)v(x)dx+ \int_a^b u\) \((x)v’\) \((x)dx\).
Alors \(\int_a^b u’\) \((x)v(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b- \int_a^b u\) \((x)v’\) \((x)dx\).
Méthodologie
L’intégration par parties est très utile lorsque tu dois intégrer une fonction qui n’est pas usuelle, par exemple, tu ne peux pas trouver une primitive de cette fonction : \(x \to x\sin(x)\) seulement grâce au tableau sur les primitives de ton cours.
Il faut intégrer par parties lorsque l’on a une fonction exponentielle, une fonction trigonométrique ou une fonction logarithme népérien multipliées par une autre fonction. En terminale, il est souvent précisé si tu dois intégrer par parties ou non.
Pour intégrer par parties :
– Tu dois faire un choix judicieux de tes fonctions \(u\) et de \(v\) pour ainsi ne pas être bloqué dans les calculs après.
– Tu dois ensuite intégrer par parties grâce à la définition donnée ci-dessus.
À toi de jouer
Applique la méthode d’intégration par parties pour calculer \(\ I = \int_1^e x\ln(x) \, dx\).
\(\text{Étape 1 : faire un choix judicieux des fonctions } u \text{ et } v\).
Posons :
\[ v(x) = \ln(x) \quad v'(x) = \frac{1}{x} \]
\[ u'(x) = x \quad u(x) = \frac{1}{2}x^2 \]
Attention : tu dois faire le bon choix des fonctions \(u\) et de \(v\) pour ne pas rester bloqué lors de la seconde étape. Si tu es coincé à la seconde étape, pas de stress, recommence à l’étape 1 en intervertissant tes fonctions \(u\) et de \(v\), tu seras sûr d’y arriver ensuite !
\(u\) et \(v\) sont deux fonctions dérivables sur \([1;e]\) et \(u’\) et \(v’\) sont continues sur \([1;e]\).
\(\text{Étape 2 : intégrer par parties}.\)
Une fois que tu es à cette étape, il suffit d’appliquer la définition de l’intégration par parties.
\[ I = \int_1^e x\ln(x)dx = \left[\frac{1}{2}\ln(x)x^2 \right]_1^e – \int_1^e \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2}x^2 \, dx = \frac{1}{2}\ln(e)e^2 – \frac{1}{2}\ln(1)1^2 – \int_1^e \frac{1}{2}x \, dx \]
Rappel : \(\ln(e)=1\) et \(\ln(1)=0\).
Alors, \(I = \frac{1}{2}\ln(e)e^2 – \frac{1}{2}\ln(1)1^2 – \int_1^e \frac{1}{2}x \, dx = \frac{1}{2}e^2 – \frac{1}{2}\int_1^e x \, dx = \frac{1}{2}e^2 – \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}(e^2+1)\).
\(\text{Remarque}:\) Grâce à une intégration par parties, on peut trouver qu’une primitive de \(x \to \ln(x)\) sur \((0;+\infty)\) est \(x \to x\ln(x)-x\). Si tu veux effectuer cette intégration par parties, il est utile de remarquer que \(\ln(x)=1 \times \ln(x)\) en posant \(u’\) \((x)=1\).
Applique la méthode de l’intégration par parties pour calculer \(\ J=\int_0^1 xe^x \, dx\)
\(\text{Étape 1 : faire un choix judicieux des fonctions } u \text{ et } v\).
Posons :
\[ u(x) = x \quad u'(x) = 1 \]
\[ v'(x) = e^x \quad v(x) = e^x \]
\(u\) et \(v\) sont dérivables sur \([0;1]\) et \(u’\) et \(v’\) sont continues sur \([0;1]\).
Une fois que tu as trouvé les bonnes fonctions \(u\) et \(v\), tu peux passer à l’étape suivante.
\(\text{Étape 2 : intégrer par parties.}\)
Maintenant, il te reste à intégrer par parties :
\[ J = \int_0^1 xe^x = [xe^x]_0^1 – \int_0^1 e^x \, dx = e^1 – e^0 + 1 = 1. \]
\(\text{Remarque}:\) Les primitives de la fonction exponentielle sont les fonctions \(F\) telles que \(F(x) = e^x + C\) (avec \(C \in \mathbb{R}\)).
Pour aller plus loin
Pour tout entier naturel \(n\), on note :
\[ I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^2} \, dx \quad \text{et} \quad J_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, dx \]
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout entier \(n \geq 1\), \(I_n = nJ_{n-1} – \frac{1}{2}\).
\(\text{Indice}:\) il faut essayer de trouver pour tout entier \(n \geq 1\), ce résultat : \(I_n = n\int_0^1 x^{n-1} – \frac{1}{2}.\)
\(\text{Partie 1} : \text{posons } u \text{ et } v\).
Posons :
\[ u(x) = x^n \quad u'(x) = nx^{n-1} \]
\[ v'(x) = \frac{1}{(1+x)^2} \quad v(x) = -\frac{1}{1+x} \]
\(u\) et \(v\) sont dérivables sur \([0;1]\) et \(u’\) et \(v’\) sont continues sur \([0;1]\).
\(\text{Partie 2} : \text{intégrons par parties.}\)
\[ I_n = [-\frac{x^n}{1+x}]_0^1 – \int_0^1 -\frac{1}{1+x} \cdot nx^{n-1} \, dx = -\frac{1}{2} + n\int_0^1 x^{n-1} \, dx = nJ_{n-1} – \frac{1}{2}.\]
Cet exemple est un extrait du problème du sujet d’EDHEC 2021 pour les ECE (classes préparatoires économiques et commerciales). Si tu l’as trouvé un peu dur, c’est NORMAL ! Mais grâce à cet exemple, tu peux observer une autre possibilité qui s’offre à toi grâce à l’intégration par parties. Cela te permettra également de ne pas être découragé ou perturbé si tu as un exemple de ce type lors de ton prochain DST.
