Dans cet article, nous t’expliquons la méthodologie permettant de définir la représentation paramétrique d’une droite. Nous résoudrons également deux exercices d’applications pour te permettre d’être plus confortable avec ces concepts. Si tu es en terminale et cherches à renforcer tes compétences en vue du baccalauréat, cet article est fait pour toi.
Définition d’une représentation paramétrique
L’espace est muni d’un repère orthonormé \( (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}) \).
On considère \( d \) la droite passant par un point \( A(x_A;y_A;z_A) \) et de vecteur directeur \( \vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \).
On sait que : \( M(x;y;z) \in d \) si et seulement si il existe un réel \( t \) tel que \( (S) \) \( \begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \).
Ce système \( (S) \) est appelé représentation paramétrique de la droite \( d \). On dit que \( t \) est le paramètre de cette représentation.
Remarque : Une droite \( d \) possède un nombre infini de représentations paramétriques.
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Les différentes méthodes à connaître
1. Déterminer une représentation paramétrique d’une droite \( d \) passant par un point \( A(x_A;y_A;z_A) \) et de vecteur directeur \( \vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \):
Une représentation paramétrique de la droite \( d \) passant par un point \( A(x_A;y_A;z_A) \) et de vecteur directeur \( \vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \) est :
\( (S) \) \( \begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \), avec \( t \) un réel.
Point \( A(x_A;y_A;z_A) \).
Vecteur directeur \( \vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \).
Remarque : Dans certains cas, l’énoncé ne mentionnera que la droite \( (AB) \) passe deux points \( A(x_A;y_A;z_A) \) et \( B(x_B;y_B;z_B) \). Tu devras donc calculer \( \vec{AB} \) et tu pourras préciser que la droite \( (AB) \) passe par un point \( A(x_A;y_A;z_A) \) et est de vecteur \( \vec{AB} \).
2. Déterminer les coordonnées de points d’une droite \( d \) grâce à sa représentation paramétrique \( (S) \) \( \begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \) avec \( t \) un réel:
Tu devras poser : \( t=0,t=1,… \), car chaque valeur de \(\ t \) correspond à un point de la droite \( d \).
3. Déterminer un vecteur directeur d’une droite \( d \) grâce à sa représentation paramétrique \( (S) \) \( \begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \) avec \( t \) un réel:
Vecteur directeur \( \vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \).
4. Déterminer si un point \( M(x;y;z) \) appartient à une droite \( d \):
\( M(x;y;z) \in d \) si et seulement si il existe un réel \( t \) tel que \( (S) \) \( \begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \) ; autrement dit, on remplace \( x,y \) et \( z \) par les coordonnées du point \( M \) dans le système et on le résout afin de trouver un réel \( t \) qui vérifie toutes les équations de \( (S) \).
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Exercices sur la représentation paramétrique d’une droite
Exercice n°1 (d’après le baccalauréat 2023)
L’espace est muni d’un repère orthonormé \( (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}) \). On considère :
– \( d_1 \) la droite passant par le point \( H(2; 3; 0) \) et de vecteur directeur \( \vec{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \)
– \( d_2 \) la droite de représentation paramétrique : \( \begin{cases} x = 2k – 3 \\ y = k \\ z = 5 \end{cases} \), où \( k \) décrit \( \mathbb{R} \).
Questions :
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \( d_1 \).
2. Déterminer les coordonnées de deux points de \( d_2 \).
3. Déterminer deux vecteurs directeurs \( \vec{v} \) et \( \vec{w} \) de la droite \( d_2 \).
4. Montrer que le point \( M(3;3;5) \) appartient à la droite \( d_2 \).
Solutions :
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \( d_1 \)
Une représentation paramétrique de la droite \( d_1 \) est : \( \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 – t \\ z = t \end{cases} \), avec \( t \) un réel.
2. Déterminer les coordonnées de deux points de \( d_2 \):
Si \( k=0 \), on obtient le point \( A(-3;0;5) \) de \( d_2 \).
Si \( k=1 \), on obtient le point \( B(-1;1;5) \) de \( d_2 \).
3. Déterminer deux vecteurs directeurs \( \vec{v} \) et \( \vec{w} \) de la droite \( d_2 \):
\( \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) et \( \vec{w} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \).
4. Montrer que le point \( M(3;3;5) \) appartient à la droite \( d_2 \):
\( M(3;3;5) \in d_2 \) si et seulement si il existe un réel \( t \) tel que \( (S) \) \( \begin{cases} 3=2k-3 \\ 3=k \\ 5=5 \end{cases} \), ce qui est vérifié pour \( t=3 \).
Pour \( k=3 \), le système est vérifié, en effet : \( \begin{cases} x=2 \times 3-3=3 \\ y=3 \\ z=5 \end{cases} \), avec \( x=3, y=3 \) et \( z=5 \).
Exercice n°2
L’espace est muni d’un repère orthonormé \( (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}) \).
On considère les points :
– \( A (1;2;1) \)
– \( B(4;5;-2) \).
Déterminer une représentation paramétrique de la droite \( (AB) \).
Calculons \( \vec{AB} \) : \( \vec{AB} = (4-1;5-2;-2-1) = (3;3;-3) \).
On a donc la droite \( (AB) \) de vecteur directeur \( \vec{AB} \) et \( A(1;2;1) \) un point de cette droite.
Une représentation paramétrique de la droite \( (AB) \) est : \( \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 3t \\ z = 1 – 3t \end{cases} \), avec \( t \) un réel.
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