En classe de première, tu as probablement déjà vu les intérêts simples et les taux d’évolution. Dans cet article, nous allons te parler des intérêts composés. Comprendre ce concept est important pour le baccalauréat et pour mieux gérer tes finances à l’avenir.
En quoi consistent les intérêts composés ?
Les intérêts composés sont des intérêts calculés non seulement sur le capital initial (la somme que tu as investie ou empruntée) mais aussi sur les intérêts déjà générés. Autrement dit, les intérêts « produisent » eux-mêmes des intérêts. Ce phénomène, souvent surnommé « l’effet boule de neige », permet à un investissement de croître beaucoup plus rapidement qu’avec des intérêts simples.
Par exemple :
– Si tu places 100€ à un taux d’intérêt de 5% par an, après la première année, tu gagneras 5€ d’intérêts (100 x 0,05 = 5).
– L’année suivante, tes intérêts seront calculés sur 105€ (100€ + 5€ d’intérêts) et non plus sur 100€, ce qui te fera gagner 5,25€ ( \( 105 \times 0,05 = 5,25 \) ).
– Au bout de 10 ans, ton investissement aura considérablement augmenté grâce à cet effet cumulatif.
Formule des intérêts composés
Pour déterminer le capital obtenu après \(n\) périodes d’un placement à intérêts composés, on utilise la formule suivante :
\( C_n = C_0 \times (1 + t)^n \)
– \(C_n\) : le montant du capital après \(n\) périodes.
– \(C_0\) : le capital initial investi.
– \(t\) : le taux d’intérêt par période (exprimé en décimal, par exemple, un taux de 5 % est 0,05).
– \(n\) : le nombre de périodes de placement.
Exemple : Si tu investis 1 000 € à un taux d’intérêt de 5 % par an pendant 3 ans, le calcul serait :
\( C_n = 1000 \times (1 + 0,05)^3 \approx 1000 \times 1,157625 \approx 1157,63 \, € \)
Ainsi, après 3 ans, ton capital serait d’environ 1 157,63 €.
Déterminer la durée de placement
Si tu souhaites savoir combien de temps il te faudra pour atteindre un capital donné à partir d’un capital initial et d’un taux d’intérêt, tu peux réarranger la formule pour obtenir \(n\) :
\( n = \frac{\ln(C_n / C_0)}{\ln(1 + t)} \)
– \(C_n\) : le capital souhaité à la fin de la période.
– \(C_0\) : le capital initial.
– \(t\) : le taux d’intérêt par période.
Exemple : Si tu veux atteindre 1 500 € en partant de 1 000 € à un taux d’intérêt de 5 % par an, le calcul serait :
\( n = \frac{\ln(1500 / 1000)}{\log(1 + 0,05)} \approx 8,31 \)
Cela signifie qu’il te faudra environ 8,31 ans pour atteindre ton objectif de 1 500 €.
Calculer un taux mensuel équivalent à un taux annuel
Lorsque l’on travaille avec des intérêts composés, il est souvent nécessaire de convertir un taux d’intérêt annuel en taux mensuel. La formule pour effectuer cette conversion est :
\( t_m = (1 + t_a)^{\frac{1}{12}} – 1 \)
où :
– \(t_m\) : le taux d’intérêt mensuel (exprimé en décimal),
– \(t_a\) : le taux d’intérêt annuel (exprimé en décimal).
Exemple :
Supposons que tu aies un taux d’intérêt annuel de 6 %. Pour trouver le taux mensuel :
Appliquons la formule :
\( t_m = (1 + 0,06)^{\frac{1}{12}} – 1 \approx 0,049 \, \text{ou} \, 0,49\% \)
Cela signifie qu’un taux d’intérêt de 6 % par an est équivalent à un taux d’intérêt mensuel d’environ 0,49 %.
Calculer un taux moyen
Le taux moyen est souvent utilisé pour déterminer le rendement ou le coût moyen d’un investissement ou d’un emprunt sur une période donnée. La formule pour calculer le taux moyen est la suivante :
\( t_{\text{moyen}} = \frac{t_1 + t_2 + \ldots + t_n}{n} \)
où :
– \(t_{\text{moyen}}\) : le taux moyen,
– \(t_1, t_2, \ldots, t_n\) : les taux d’intérêt sur les différentes périodes,
– \(n\) : le nombre de périodes.
Exemple :
Imaginons que tu aies les taux suivants sur trois années : 5 %, 6 %, et 7 %. Pour calculer le taux moyen :
Appliquons la formule :
\( t_{\text{moyen}} = \frac{0,05 + 0,06 + 0,07}{3} = \frac{0,18}{3} = 0,06 \, \text{ou} \, 6\% \)
Ainsi, le taux moyen sur ces trois années est de 6 %.
Exercice bilan
Béatrice dispose de 350 000 euros sur son plan d’épargne en actions avec un taux d’intérêt annuel de 12,5 %. Elle souhaite acheter une maison d’une valeur de 700 000 euros. Cependant, elle veut financer cet achat sans contracter de prêt et sans ajouter d’argent supplémentaire à son capital initial. Elle utilisera donc les intérêts générés par son épargne pour atteindre cet objectif.
-
- À quel moment Béatrice pourra-t-elle acheter sa maison ?
- Sachant qu’elle perçoit ses intérêts de manière trimestrielle, quel est son taux d’intérêt trimestriel ?
- Combien d’intérêts Béatrice aura-t-elle généré à la fin du troisième trimestre ?
Solution :
1. Durée du placement
Pour déterminer quand Béatrice pourra acheter sa maison, nous utilisons la formule de la durée du placement :
\( n = \frac{\log(C_n / C_0)}{\log(1 + t)} \)
Nous utilisons les données suivantes :
– \(C_0 = 350 000\) euros
– \(C_n = 700 000\) euros
– \(t = 0,125\) (taux d’intérêt annuel)
Ainsi, \( n = \frac{\ln( 70 / 350 )}{\ln(1 + 0,125)} = \frac{\log(2)}{\log(1,125)} \approx 5,88 \)
Béatrice pourra acheter sa maison dans environ 5,88 ans.
2. Taux d’intérêt trimestriel
Pour déterminer le taux d’intérêt trimestriel à partir du taux d’intérêt annuel de 12,5 %, nous utilisons la formule suivante :
\( t_m = (1 + t_a)^{\frac{1}{4}} – 1 \)
Nous savons que : \(t_a = 0,125\)
Ainsi, \( t_m = (1 + 0,125)^{\frac{1}{4}} – 1 \approx 2,99% \)
Le taux d’intérêt trimestriel est d’environ 2,99 %.
3. Intérêts gagnés à la fin du troisième trimestre
Pour déterminer les intérêts générés par Béatrice à la fin du troisième trimestre, nous appliquons la formule des intérêts composés :
\( C_n = C_0 \times (1 + t_m)^n \)
où \(C_0 = 350000\) euros, \(t_m = 0,0299\) (taux d’intérêt trimestriel) et \(n = 3\) (trimestres).
Calculons le capital après trois trimestres :
\( C_n = 350000 \times (1 + 0,0291)^3 \approx 382324,77 \text{euros} \)
Béatrice aura donc généré environ 32 324,77 euros d’intérêts à la fin du troisième trimestre.
