La physique repose sur de nombreuses méthodes de calcul fondamentales. Certaines méthodes de calcul ont même été créées pour la physique. Le calcul différentiel par exemple est né en même temps que la mécanique newtonienne, car il répondait à un besoin, celui de résoudre le principe fondamental de la dynamique. Cette fiche a pour objectif de détailler certaines méthodes de calcul omniprésentes en physique et en mathématiques.
Méthodes de calcul en physique : bien lire l’énoncé
Surligner les informations importantes
La première étape de la résolution d’un problème est de comprendre l’énoncé et de le traduire en termes mathématiques afin de pourvoir résoudre l’exercice. La meilleure solution pour faire cela est de surligner les informations importantes de l’énoncé. C’est un point important de la méthode de calcul en physique puisqu’elle force à lire activement la consigne en mettant en valeur les parties importantes.
Reformuler la question posée
Une fois les données importantes surlignées, il faut se reformuler la question afin d’être certain de l’avoir compris. Il faut trouver ce que le sujet veut nous faire faire. Par exemple les phrases “trouvez la vitesse de la fusée lorsqu’elle quitte l’atmosphère” et “trouvez la vitesse de lancement minimale nécessaire pour faire sortir la fusée de l’atmosphère” n’ont pas du tout le même sens, mais peuvent être confondues si l’on effectue une lecture trop rapide.
La lecture est donc une partie importante dans la méthode de calcul en physique.
Méthodes de calcul en physique : les conversions d’unités
De manière générale, il faut toujours convertir tout en unités du système international. Pour plus de détails sur le système SI, voir ce lien. Les principaux pièges sont les vitesses en km/h, les distances en unités folkloriques (parsec, ua, années lumières, Terre-Lune, etc.), les énergies en KiloWatt heure, et autres horreurs.
De même il est généralement utile de transformer les préfixes d’unités en puissances de 10, par exemple 3 km = 3 \(10^3\) m. Une fois que tout est en unités du système SI, il n’y a plus aucun problème !
Résolution typique d’un problème de mécanique
Les étapes sont simples :
- Faire un dessin de la situation
- Choisir un référentiel
- Lister les forces en présence
- Résoudre le PFD
Dessiner la situation
Première étape de toute méthode de calcul en physique : faire un dessin de la situation. Le dessin doit être propre et schématique, comporter toutes les valeurs numériques surlignées au par avant, avoir des axes et des vecteurs pour les vitesses et les forces, et comporter un “truc qui ne bouge pas”, un objet qui sert de référentiel.
Choisir un référentiel
Le référentiel, c’est généralement le repère attaché à ce qui ne bouge pas, c’est aussi important de l’avoir à l’esprit en faisant vos calculs en physique. C’est donc un point et deux ou trois axes bien choisis. Par exemple dans un mouvement gravitationnel autour du soleil, le référentiel (dit héliocentrique) est celui du soleil avec trois étoiles lointaines et immobiles comme directions des axes.
Dans un mouvement sur terre, c’est généralement le référentiel du laboratoire, ou référentiel terrestre, que l’on prend. C’est tout simplement le sol muni de trois axes. Il est important de choisir un référentiel Newtonien, c’est à dire qui n’est pas accéléré (à l’échelle de ce que l’on étudie), car le PFD ne s’applique que dans ces derniers. Pour plus de détails sur les référentiels usuels, voir ce lien.
Lister les forces en présence
Les forces sont ce qui accélère les objets. Les exemples classiques de force sont le poids, la réaction d’un support, les frottements, la force électromagnétique ou encore la poussée d’Archimède.
Résoudre le PFD
Le principe fondamental de la dynamique est une équation différentielle s’écrivant \(\Sigma \vec{F}=\dot{\vec{p}}\). Le programme de lycée ne prévoit pas d’étudier en détail la résolution des équations différentielles et celles que vous aurez à résoudre seront toujours simples. Donc ces méthodes vous suffiront pour faire tous les calculs en physique au lycée.
Une équation différentielle est une équation dans laquelle la quantité que l’on cherche à déterminer n’apparaît que sous la forme d’une dérivée. Au lycée, elle sera toujours simple, et nécessitera une simple intégration temporelle entre un temps \(t_0\) où l’on connait notre quantité et un temps \(t\) variable.
Exemple
Si je connais la vitesse \(\vec{v_0}\) d’un objet à \(t_0\) s, et qu’il n’est soumis qu’à son poids, alors \(m\dot{\vec{v}}=m\vec{g}\). On intègre entre \(t_0\) et \(t\), ce qui donne $$\int_{t_0}^{t}m\dot{\vec{v}}(\tau)\text{d}\tau=\int_{t_0}^{t}m\vec{g}\text{d}\tau$$
Cela se simplifie en $$m(\vec{v}(t)-\vec{v}(t_0))=m\vec{g}(t-t_0)$$
et donne finalement $$\vec{v}=\vec{v_0}+(t-t_0)\vec{g}$$
Méthodes de calcul en physique : l’analyse dimensionnelle
L’analyse dimensionnelle est un outil puissant, hors du programme de lycée, mais basé sur du bon sens physique. Elle se résume au fait qu’à toute grandeur physique est associée une unité, une dimension, et que celles-ci ne s’additionnent pas. Par exemple une longueur ne s’additionne pas avec un temps, cependant si l’on divise une longueur par un temps, on obtient une vitesse.
L’idée de l’analyse dimensionnelle est de vérifier l’homogénéité des résultats que l’on trouve, c’est à dire les dimensions (ou les unités), afin de s’assurer de la cohérence d’un calcul.
Exemple
Problème : Je suis en moto (masse totale \(m\)) et je passe de 0 à 100 km/h en 5 s. Je veux savoir quelle force s’est exercée sur la moto et moi pendant cette accélération, en supposant cette force constante.
Supposons qu’en résolvant le problème j’ai fait une erreur, et que je dise \(F=\frac{v_f-v_i}{\tau}\) avec \(\tau\) le temps de 5 s, \(v_f\) la vitesse finale de 100 km/h (en m/s), et \(v_i\) la vitesse initiale nulle. L’erreur est triviale : j’ai oublié la masse. Si cependant je n’ai pas vu l’erreur, à la fin du calcul je peux tout simplement écrire l’unité du résultat pour la déceler.
$$\left[\frac{v_f-v_i}{\tau}\right]=\frac{\text{m}~\text{s}^{-1}}{\text{s}}=\text{m}~\text{s}^{-2}$$
Or je sais aussi que l’unité d’une force c’est le kg m/s², je sais donc que j’ai fait une erreur : j’ai oublié la masse !
Attention cependant, un résultat in-homogène est toujours faux, un résultat homogène n’est pas toujours juste ! En effet l’analyse dimensionnelle ne prend pas en compte les facteurs sans dimensions, comme par exemple le \(2\pi\) dans les oscillations d’un pendule (\(T=2\pi\sqrt{l/g}\)).
Bien que toutes ces méthodes de calcul en physique ne se substituent pas à un bon apprentissage du cours et une maîtrise de la partie technique des calculs, elles permettent d’éviter de nombreuses erreurs un peu bêtes que l’on fait tous. Couplées à un peu de sens physique sur les valeurs numériques que l’on trouve par le calcul (par exemple une vitesse de voiture de 14 000 km/h, c’est plutôt surprenant), elles permettent de s’en sortir sans trop perdre de temps. Ce qui compte, c’est de faire le calcul une fois mais bien, car le recommencer plusieurs fois fait perdre plus de temps que de le faire lentement et sans erreur ! Pour retrouver cette fiche en PDF, voir ici. N’hésitez pas à mettre en oeuvre cette méthode de calcul en vous entraînant avec le sujet de bac de physique-chimie 2018 disponible ici.
