Dans cet article, nous allons travailler ensemble sur une notion fondamentale en mathématiques : la partie entière ! Tu vas retrouver cette notion dans de nombreux concepts et théorèmes mathématiques, il est donc primordial de la comprendre et de savoir l’utiliser. Cet article est justement là pour te permettre de maîtriser toutes les propriétés et astuces autour de la partie entière. Tu pourras même t’entraîner avec deux exercices corrigés en fin de cet article !
Qu’est-ce que la partie entière ?
Définition et exemples
La partie entière d’un nombre réel \( x \), notée \( \displaystyle \lfloor x \rfloor \), désigne le plus grand entier inférieur ou égal à \( x \). Le plus simple est de prendre quelques exemples pour mieux comprendre cette définition :
- Soit \( x = 4.3 \), alors \( \displaystyle \lfloor x \rfloor = 4 \), car \( 4 \) est le plus grand entier inférieur à 4.
- Soit \( x = -2.8 \), alors \( \displaystyle \lfloor x \rfloor = -3 \) et non pas \( – 2 \), car \( – 3 \) est le plus grand entier inférieur à \( – 2.8 \). Tu l’as donc compris, il faut faire attention au signe de \( x \) sinon tu peux être amené(e) à faire quelques erreurs. Attention à ne pas faire d’erreur de rédaction, surtout dans les matières scientifiques !
- Soit \( x = 6 \), alors \( \displaystyle \lfloor x \rfloor = 6 \) car 6 est entier. Or, la partie entière renvoie le plus grand entier inférieur ou égal à \( x \).
Cas particuliers
Maintenant que tu as compris ce qu’était la partie entière, il est important de voir des cas particuliers pour être sûr que tu as bien compris de quoi il s’agissait.
Tu peux déjà retenir que la partie entière de zéro est zéro. Ici pas d’exceptions particulières !
\[
\lfloor 0 \rfloor = 0
\]
Si on prend une valeur de \( x \) qui semble très proche d’un entier supérieur, tel que \( 4.99999999 \) qui est proche de \( 5 \). La partie entière reste le plus grand entier inférieur, donc ici \( \displaystyle \lfloor 4.99999999 \rfloor = 4 \).
On peut aussi s’intéresser à la valeur absolue avec la partie entière. En effet, c’est un cas particulier très simple, puisque dès que la partie entière de \( \displaystyle |x| \) est simplement l’entier de \( x \). Ainsi, avec avec \( x = 3.2 \), alors \( \lfloor |x| \rfloor = \lfloor 3.2 \rfloor = 3 \).
Mais, là aussi le signe de \(x\) est important car comme tu le sais lorsqu’on applique la valeur absolue à un nombre négatif, on obtient ce nombre au signe positif. Ainsi, avec \( x = – 4.7 \), on a \( \lfloor |x| \rfloor = \lfloor 4.7 \rfloor = 4 \).
Tu as besoin d’un petit coup de pouce sur les racines carrées ou sur la fonction valeur absolue ? Jette un coup d’œil à nos articles sur tout ce qu’il faut savoir sur les racines carrées ou sur tout ce qu’il faut connaître sur la valeur absolue.
Les propriétés de la partie entière
L’encadrement essentiel de la partie entière
Grâce à la partie entière, on peut encadrer \( x \) et cet encadrement est fondamental, car tu le retrouveras dans de nombreux exercices. Ainsi, pour tout \( x \in \mathbb{R} \)
\[ \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1 \]
La courbe représentative de la fonction partie entière
Tu peux le voir ci-dessous, la courbe représentative de la fonction partie entière est particulière. Elle est croissante, mais non continue sur \( \mathbb{R} \).
Image générée avec Geogebra
La partie fractionnaire de \( x \)
La différence \( \displaystyle x – \lfloor x \rfloor \) est appelée la partie fractionnaire de \( x \), notée \( \{x\} \). Elle représente la partie décimale de \( x \) et elle est donc compris entre 0 et 1.
\[ 0 \leq x – \lfloor x \rfloor < 1 \]
Par exemple, avec \( x = 3.2 \) on alors : \[ \lfloor x \rfloor = 3 \quad \text{d’où} \quad \{x\} = 3.2 – 3 = 0.2 \]
Astuces sur la partie entière
Aide-toi d’une ligne graduée
Si tu as du mal à trouver la partie entière d’un nombre, tu peux tracer une ligne graduée sur une feuille et placer ce nombre dessus. Il te suffira alors de trouver plus grand entier qui est à gauche de ce point.
La partie entière en python
Enfin, dans le langage python, tu peux aussi utiliser la partie entière. Pour rappel, le langage python est un langage informatique de programmation. Tu peux d’ailleurs t’entraîner à écrire en python sur divers sites, tels que mycompilateur. Ainsi, en python dans la bibliothèque math on peut utiliser la fonction floor pour obtenir directement la partie entière.
Exercices d’entraînements sur les parties entières
Exercice 1 : Calculs
Détermine les parties entières des valeurs suivantes :
- \( 5.7 \)
- \( -3.3 \)
- \( \displaystyle \frac{7}{3} \)
- \( \sqrt{10} \)
- \( | -4.8 | \)
Exercice 2 : Récurrence mathématique
Démontre par récurrence que pour tout entier naturel \( n \), on a \[ \displaystyle \lfloor n \rfloor \leq n < \lfloor n \rfloor + 1 \]
(Autrement dit on va prouver l’encadrement indispensable sur les parties entières par récurrence 😉)
Correction des exercices
Corrigé exercice 1
Pour les deux premières valeurs à déterminer, on applique directement la définition de la partie entière et on trouve aisément :
- \( \lfloor 5.7 \rfloor = 5 \)
- \( \lfloor -3.3 \rfloor = -4 \)
Pour la fraction, on sait que \( \displaystyle \frac{7}{3} \) est proche de \( \displaystyle \frac{6}{3} = 2 \), on a donc :
- \( \displaystyle \left\lfloor \frac{7}{3} \right\rfloor = 2 \)
De même, \( \displaystyle \sqrt{10} \) est proche de \( \displaystyle \sqrt{10} = \sqrt{9} = 3 \), on a donc :
- \( \displaystyle \lfloor \sqrt{10} \rfloor = 3 \)
Enfin, pour la valeur absolue, on applique la propriété pour la partie entière. Or on sait que \( | -4.8 | = 4.8 \). On a donc :
- \( \displaystyle \lfloor | -4.8 | \rfloor = \lfloor 4.8 \rfloor = 4 \)
Corrigé exercice 2
On commence par l’initialisation. Pour rappel, l’initialisation consiste à vérifier si la propriété que l’on veut démontrer est vraie pour la première valeur possible dans l’ensemble demandé. Or, ici on nous demande de le démontrer pour tout entier naturel n, la première valeur possible est donc 0.
Ainsi, pour \( n = 0 \), on a : \( \displaystyle \lfloor 0 \rfloor \leq 0 < \lfloor 0 \rfloor + 1 \)
Or, on sait que \(\lfloor 0 \rfloor = 0\), donc : \( 0 \leq 0 < 0 + 1 \) ce qui est vrai. Donc la propriété est initialisée.
On passe à l’Hérédité. Supposons que la propriété est vraie pour un entier naturel \(n\), tel que :
\[ \lfloor n \rfloor \leq n < \lfloor n \rfloor + 1. \]
Montrons alors que cette propriété est encore vraie au rang \( n + 1 \) tel que :
\[ \lfloor n + 1 \rfloor \leq n + 1 < \lfloor n + 1 \rfloor + 1. \]
Or, d’après la définition de la partie entière, on sait que si \( x \) est un entier, alors \( \lfloor x \rfloor = x \).
Or, \( n + 1 \) est un entier (car \( n \) est un entier) , donc on a \( \lfloor n + 1 \rfloor = n + 1\). On donc bien déjà l’inégalité :
\[ \lfloor n + 1 \rfloor \leq n + 1\]
D’autre part, on s’appuie sur l’hypothèse de récurrence et en ajoutant 1 de chaque côté on a :
\[ n + 1 < \lfloor n \rfloor + 1 + 1 \]
Or comme \( n \) est un entier, on a aussi \( \lfloor n \rfloor = n \). D’où :
\[ n + 1 < n + 1 + 1 \]
Et comme on a vu que \( \lfloor n + 1 \rfloor = n + 1\). On a donc bien :
\[ n + 1 < \lfloor n + 1 \rfloor + 1 \]
En combinant les deux inégalités démontrées on a alors :
\[ \lfloor n + 1 \rfloor \leq n + 1 < \lfloor n + 1 \rfloor + 1. \]
Ainsi, on a bien démontré par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), on a :
\[ \lfloor n \rfloor \leq n < \lfloor n \rfloor + 1. \]
Conclusion
Voilà, tu connais maintenant tout sur la partie entière ! Tu es désormais capable de donner sa définition ainsi que ses propriétés et ses différentes applications ! Tu t’es même entraîné avec deux exercices. J’espère que cet article t’a plu. Tu peux retrouver ici toutes nos autres ressources mathématiques et lire cet article sur les techniques de conversion des unités de longueur !
