Dans cet article, nous allons travailler ensemble sur une notion fondamentale : la convexité en mathématiques ! Tu vas retrouver cette notion dans de nombreux concepts et théorèmes mathématiques, il est donc primordial de la comprendre et de savoir l’utiliser. Cet article est justement là pour te permettre de maîtriser toutes les propriétés et astuces autour de la convexité. Tu pourras même t’entraîner avec deux exercices corrigés à la fin de cet article !
Qu’est-ce que la convexité et la concavité ?
La convexité consiste à s’intéresser aux positionnements de la courbe représentative d’une fonction par rapport à ses cordes. Pour rappel, une corde est « un segment qui a pour extrémités deux points d’une courbe » (définition du dictionnaire Larousse).
Ainsi, une fonction est dite convexe sur un intervalle \( I \) si et seulement si sa courbe représentative se situe au-dessus de ses cordes sur l’intervalle \( I \). Au contraire, une fonction est dite concave si et seulement si sa courbe représentative se situe en dessous de ses cordes sur l’intervalle \( I \). Ces notions de convexité et de concavité sont donc intimement liées à celle des fonctions, car nous allons le voir par la suite, mais, grâce aux dérivées des fonctions, on peut montrer qu’une fonction est convexe ou concave.
Prenons quelques exemples graphiquement pour voir à quoi cela correspond ! Ces graphiques ont été réalisés sur GeoGebra.
La fonction carrée est une fonction convexe, ci-dessous tu peux bien voir que sa courbe représentative en verte est située au-dessus de toutes ses cordes (ici on en voit trois en rouge):
Tandis que, si on s’intéresse à la courbe inverse, la fonction \( \displaystyle f = \frac{1}{x} \), on observe que sa courbe représentative en verte est cette fois située en dessous de ses cordes en rouge. La fonction inverse est donc concave !
Les définitions de la convexité et de la concavité en mathématiques
En écritures mathématiques, on dit qu’une fonction \( f \) est convexe sur un intervalle \( I \), si et seulement si \( \forall x, y \) dans l’intervalle \( I \) et pour tout \( \alpha \in [0, 1] \), on a :
\[ \displaystyle f(\alpha \cdot x + (1 – \alpha) \cdot y) \leq \alpha \cdot f(x) + (1 – \alpha) \cdot f(y) \]
Inversement, on dit qu’une fonction \( f \) est concave sur un intervalle \( I \), si et seulement si \( \forall x, y \) dans l’intervalle \( I \) et pour tout \( \alpha \in [0, 1] \), on a :
\[ \displaystyle f(\alpha \cdot x + (1 – \alpha) \cdot y) \geq \alpha \cdot f(x) + (1 – \alpha) \cdot f(y) \]
Tu as besoin d’un petit coup de pouce sur les racines carrées ou sur la fonction valeur absolue ? Jette un coup d’œil à nos articles sur tout ce qu’il faut savoir sur les racines carrées ou sur tout ce qu’il faut connaître sur la valeur absolue.
Astuces sur la convexité
Montrer qu’une fonction est convexe ou concave grâce aux fonctions
Pour montrer qu’une fonction est convexe ou concave, tu vas souvent devoir utiliser la dérivée seconde de cette fonction. Pour rappel, la dérivée seconde d’une fonction est la dérivée de la dérivée !
En effet, une fonction est convexe sur un intervalle \( I \) si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle, autrement dit :
\[ \displaystyle f”(x) \geq 0 \]
Inversement, une fonction est convexe sur un intervalle \( I \) si et seulement si sa dérivée seconde est négative sur cet intervalle, autrement dit :
\[ \displaystyle f”(x) \leq 0 \]
Les points d’inflexion
Un point d’inflexion est un point où la fonction change de convexité : elle passe de convexe à concave ou de concave à convexe. Autrement dit, il s’agit d’un point de la courbe où la courbe représentative de la fonction traverse sa tangente.
Les points d’inflexion sont donc très intéressants pour évaluer le comportement d’une courbe et d’une fonction, mais il faut les différencier des extremums locaux et globaux.
Pour déterminer un point d’inflexion, deux méthodes sont possibles :
- tu peux t’intéresser à la valeur de \( x \) pour laquelle \( f”(x) = 0 \).
- tu peux aussi observer le signe de la dérivée seconde, donc le signe de \( f”(x) \) en réalisant son tableau de signe. Si \( f”(x) \) passe de négatif à positif en un point \( x \), ou inversement, alors ce point \(x \) est un point d’inflexion
La convexité en python
Enfin, dans le langage python, tu peux aussi utiliser la convexité. Pour rappel, le langage python est un langage informatique de programmation. Tu peux d’ailleurs t’entraîner à écrire en python sur divers sites, tels que mycompilateur ! Pour déterminer la convexité d’une fonction en python, tu peux par exemple utiliser les bibliothèques numpy et mathplotlib.pyplot pour représenter la courbe représentative d’une fonction grâce aux fonctions numpy.linspace et plt.plot.
Exercices d’entraînements sur la convexité
Exercice 1 : Convexité d’une fonction
- Soit la fonction \( \displaystyle f(x) = x^2 + 2x + 1 \), donne la derivée \( f'(x) \) de cette fonction et sa dérivée seconde \( f”(x) \)
- À partir du signe de \( f”(x) \), détermine la convexité ou la concavité de la fonction f
- En utilisant la définition mathématique de la convexité (que tu connais désormais 😊), montre que pour \( \displaystyle \forall x, y \in \mathbb{R} \) et \( \alpha \in [0, 1] \), on a bien:
\[ \displaystyle f(\alpha \cdot x + (1 – \alpha) \cdot y) \leq \alpha \cdot f(x) + (1 – \alpha) \cdot f(y) \]
Attention à ne pas faire d’erreur de rédaction, surtout dans les matières scientifiques !
Exercice 2 : Convexité, points d’inflexion et représentation graphique
Soit la fonction \( g(x) = x^3 – 3x \), donne sa dérivée seconde ainsi que ses potentiels points d’inflexion et représente graphiquement cette fonction sur une feuille.
Correction des exercices
Corrigé exercice 1
- On commence par rappeler que la fonction est bien dérivable deux fois sur \( \displaystyle \mathbb{R} \). Ici, la fonction f est bien dérivable deux fois sur \( \displaystyle \mathbb{R} \) car il s’agit d’une fonction polynomiale.
On s’intéresse d’abord à la dérivée de la fonction et on trouve aisément que :
\[ f'(x) = 2x + 2 \]
La dérivée seconde de cette fonction est alors :
\[ f”(x) = 2 \] - Ici, la dérivée seconde est très simple, puisqu’elle ne fait pas intervenir de variable. On constate que la dérivée seconde est strictement positive sur \( \displaystyle \in \mathbb{R} \) car elle vaut toujours \( 2 \).
Donc la fonction \( f(x) \) est convexe sur \( \displaystyle \in \mathbb{R} \) - La définition est rappelée ici, donc on va calculer chaque côté de l’inéquation avec notre fonction.
On commence par calculer \( f(\alpha \cdot x + (1 – \alpha) \cdot y) \) :
\[
f(\alpha \cdot x + (1 – \alpha) \cdot y) = \left( \alpha x + (1 – \alpha)y \right)^2 + 2 \left( \alpha x + (1 – \alpha)y \right) + 1.
\]
En simplifiant, on obtient alors :
\[
f(\alpha \cdot x + (1 – \alpha) \cdot y) = \alpha^2 x^2 + 2\alpha(1 – \alpha)xy + (1 – \alpha)^2 y^2 + 2\alpha x + 2(1 – \alpha)y + 1.
\]
D’autre part, on calcule la partie droite de l’inéquation, c’est-à-dire \( \alpha \cdot f(x) + (1 – \alpha) \cdot f(y) \) :
\[
\alpha \cdot f(x) + (1 – \alpha) \cdot f(y) = \alpha \cdot (x^2 + 2x + 1) + (1 – \alpha) \cdot (y^2 + 2y + 1).
\]
On a donc par simplification :
\[
\alpha \cdot f(x) + (1 – \alpha) \cdot f(y) = \alpha x^2 + (1 – \alpha)y^2 + 2\alpha x + 2(1 – \alpha)y + 1.
\]
On fait alors la différence de \( f(\alpha \cdot x + (1 – \alpha) \cdot y) \) et \( \alpha \cdot f(x) + (1 – \alpha) \cdot f(y) \), et on obtient :
\[ f(\alpha \cdot x + (1 – \alpha) \cdot y) – \alpha \cdot f(x) + (1 – \alpha) \cdot f(y) = \alpha(1 – \alpha) \cdot -(x – y)^2.
\]
Or \( \alpha(1 – \alpha) \cdot -(x – y)^2 \) est négatif ou nulle sur \( \displaystyle \in \mathbb{R} \).
On peut donc bien écrire, pour \( \forall x, y \in \mathbb{R}) \) et \( \alpha \in [0, 1] \) :
\[ \displaystyle f(\alpha \cdot x + (1 – \alpha) \cdot y) \leq \alpha \cdot f(x) + (1 – \alpha) \cdot f(y) \]
La convexité est donc bien vérifiée avec la définition mathématique.
Corrigé exercice 2
On commence par rappeler que la fonction est bien dérivable deux fois sur \( \displaystyle \mathbb{R} \) car il s’agit à nouveau d’une fonction polynomiale.
On a alors comme dérivée première, \( g'(x) = 3x^2 – 3 \)
Et comme dérivée seconde, on trouve \( g”(x) = 6x \).
Pour trouver les points d’inflexion, on s’intéresse aux solutions de \( g”(x) = 0 \), autrement dit, on résout :
\( 6x = 0 \) d’où \( x = 0 \).
Il y a donc un point d’inflexion en \( x = 0 \).
Pour la représentation graphique de la fonction, tu peux passer par python et tu devrais obtenir une courbe qui ressemble à celle ci-dessous :
Conclusion
Voilà, tu connais maintenant tout sur la convexité ! Tu es désormais capable de donner sa définition ainsi que ses propriétés et ses différentes applications ! Tu t’es même entraîné avec deux exercices. J’espère que cet article t’a plu. Tu peux retrouver ici toutes nos autres ressources mathématiques et lire cet article sur les techniques de conversion des unités de longueur !