Si tu es en terminale et si tu souhaites continuer les mathématiques dans l’enseignement supérieur ou simplement t’entraîner sur un exercice plus dur que d’habitude, cet article te sera très utile, car il permet de revoir de (très) nombreuses notions au programme du baccalauréat.
Remarque (hors programme) :
Soit \( (u_n)_{n≥1} \) une suite définie pour tout \( n≥1 \) par \( u_n = \frac{1}{n} \). La série de terme général \( u_n \) est la suite \( (H_n) \) définie pour tout \( n≥1 \) par \( H_n = ∑_{k=1}^n u_k \).
Le terme \( H_n \) est appelé la somme partielle de la série harmonique avec \( n \) l’indice de la série. La série harmonique est définie par \( ∑_{n≥1} \frac{1}{n} \).
Objectif de l’exercice
Le but de la partie 1 est de montrer la divergence de la série harmonique, c’est-à-dire de montrer que la série \( ∑_{n≥1} \frac{1}{n} \) diverge vers \( +∞ \).
Le but de la partie 2 est de montrer que la suite \( (T_n)_{n≥1} \) définie pour tout \( n≥1 \), \( T_n = H_n – \ln(n) \), converge vers un réel \( l ∈ [0;1] \).
Énoncé de l’exercice
Soit \( (H_n)_{n≥1} \) la suite définie par tout entier naturel \( n≥1 \) par :
\[ H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} = ∑_{k=1}^n \frac{1}{k} \]
Partie n°1:
- Étudie le sens de variation de la suite \( (H_n)_{n≥1} \).
2. Démontre que pour tout \( 1≤k≤t≤k+1 \), \( \frac{1}{k+1} ≤ \frac{1}{t} ≤ \frac{1}{k} \).
3. Démontre que pour tout entier \( k≥1 \), \( \frac{1}{k+1} ≤ \int_{k}^{k+1} \frac{1}{t} dt ≤ \frac{1}{k} \).
4. À l’aide de la question iii), montre que pour tout \( n≥1 \), \( \int_{1}^{n+1} \frac{1}{t} dt ≤ H_n \).
5. En déduis que pour tout \( n≥1 \), \( \ln(n+1) ≤ H_n \).
6. Démontre que \( \lim_{n→+∞} H_n \).
Partie n°2:
On note \( (T_n)_{n≥1} \) la suite définie pour tout \( n≥1 \), \( T_n = H_n – \ln(n) \).
- D’après la question i), montre que pour tout entier \( k≥1 \), \( \frac{1}{k+1} ≤ \ln(k+1) – \ln(k) ≤ \frac{1}{k} \).
2. En déduis que la suite \( (T_n)_{n≥1} \) est décroissante.
3. On admet que pour tout entier naturel \( n \) non nul, \( \ln(n + 1) ≤ H_n ≤ \ln(n) + 1 \). Montre que \( (T_n)_{n≥1} \) est convergente.
4. Montre que \( (T_n)_{n≥1} \) est majorée par 1.
5. Conclus que \( l ∈ [0;1] \).
Partie n°1 (divergence de la série harmonique)
1 .Étudie le sens de variation de la suite \( (H_n)_{n≥1} \)
Pour tout entier naturel \( n≥1 \), \( H_{n+1} – H_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} – (1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}) = \frac{1}{n+1} \).
Ainsi, pour tout entier naturel \( n≥1 \), \( \frac{1}{n+1} ≥ 0 \).
Donc \( (H_n)_{n≥1} \) est croissante.
2. Démontre que pour tout \( 1≤k≤t≤k+1 \), \( \frac{1}{k+1} ≤ \frac{1}{t} ≤ \frac{1}{k} \)
Soit \( k≥1 \).
On a \( k≤t≤k+1 \).
Donc pour tout \( t∈[k;k+1] \), \( \frac{1}{k+1} ≤ \frac{1}{t} ≤ \frac{1}{k} \), car \( t→\frac{1}{t} \) est strictement décroissante sur \( ]0;+∞[ \), donc sur \( [k ;k+1] \).
3. Démontre que pour tout entier \( k≥1 \), \( \frac{1}{k+1} ≤ \int_{k}^{k+1} \frac{1}{t} dt ≤ \frac{1}{k} \)
Par croissance de l’intégrale sur \( [k;k+1] \), \( \int_{k}^{k+1} \frac{1}{k+1} dt ≤ \int_{k}^{k+1} \frac{1}{t} dt ≤ \int_{k}^{k+1} \frac{1}{k} dt \).
Donc, \( \frac{(k+1)-1}{k+1} ≤ \int_{k}^{k+1} \frac{1}{t} dt ≤ \frac{(k+1)-1}{k} \).
D’où pour tout entier \( k≥1 \), \( \frac{1}{k+1} ≤ \int_{k}^{k+1} \frac{1}{t} dt ≤ \frac{1}{k} \).
4. À l’aide de la question iii), montre que pour tout \( n≥1 \), \( \int_{1}^{n+1} \frac{1}{t} dt ≤ H_n \)
Soit \( n≥1 \).
On sait que \( \int_{k}^{k+1} \frac{1}{t} dt ≤ \frac{1}{k} \).
En sommant et grâce à la relation de Chasles, on obtient :
\[ ∑_{k=1}^n \int_{k}^{k+1} \frac{1}{t} dt = \int_{1}^{1+1} \frac{1}{t} dt + \int_{2}^{2+1} \frac{1}{t} dt + \int_{3}^{3+1} \frac{1}{t} dt + \cdots + \int_{n}^{n+1} \frac{1}{t} dt = \int_{1}^{n+1} \frac{1}{t} dt \].
On obtient donc pour tout \( n≥1 \), \( \int_{1}^{n+1} \frac{1}{t} dt ≤ H_n \).
5. En déduire que pour tout \( n≥1 \), \( \ln(n+1) ≤ H_n \)
On sait que les primitives de \( t→\frac{1}{t} \) sont de la forme \( t→\ln(t)+C \) avec \( C∈ℝ \).
D’où \( \int_{1}^{n+1} \frac{1}{t} dt = \ln(n+1) \), alors \( \ln(n+1) ≤ H_n \).
6. Démontre que \( \lim_{n→+∞} H_n \)
On a \( \lim_{n→+∞} n+1 = +∞ \), alors \( \lim_{n→+∞} \ln(n+1) = +∞ \), par composition.
D’où \( \lim_{n→+∞} H_n = +∞ \), d’après le théorème de comparaison.
On a donc démontré que la série \( ∑_{n≥1} \frac{1}{n} \) diverge vers \( +∞ \).
Lire aussi: Étudier les suites récurrentes en mathématiques
Partie n°2 (convergence de la suite \(\ (T_n)_{n≥1} \) )
On note \( (T_n)_{n≥1} \) la suite définie pour tout \( n≥1 \), \( T_n = H_n – \ln(n) \).
1. Démontre que pour tout entier \( k≥1 \), \( \frac{1}{k+1} ≤ \ln(k+1) – \ln(k) ≤ \frac{1}{k} \)
D’après la question iii), on sait que pour tout \( k \) non nul, \( \frac{1}{k+1} ≤ \int_{k}^{k+1} \frac{1}{t} dt ≤ \frac{1}{k} \).
On sait que les primitives de \( t→\frac{1}{t} \) sont de la forme \( t→\ln(t)+C \) avec \( C∈ℝ \).
Alors, on a \( \int_{k}^{k+1} \frac{1}{t} dt = \ln(k+1) – \ln(k) \).
D’où pour tout entier \( k≥1 \), \( \frac{1}{k+1} ≤ \ln(k+1) – \ln(k) ≤ \frac{1}{k} \).
2. En déduire que la suite \( (T_n)_{n≥1} \) est décroissante
Pour tout entier \( n≥1 \), \( T_{n+1} – T_n = H_{n+1} – H_n – \ln(n+1) + \ln(n) = \frac{1}{n+1} – \ln(n+1) + \ln(n) \).
D’après i), on sait que pour tout entier \( k≥1 \), \( \frac{1}{k+1} ≤ \ln(k+1) – \ln(k) ≤ \frac{1}{k} \).
Ainsi, pour tout entier \( n≥1 \), \( \frac{1}{n+1} – \ln(n+1) + \ln(n) ≤ 0 \), alors pour tout \( n≥1 \), \( T_{n+1} – T_n ≤ 0 \).
Alors la suite \( (T_n)_{n≥1} \) est décroissante.
3. On admet que pour tout entier naturel \( n \) non nul, \( \ln(n + 1) ≤ H_n ≤ \ln(n) + 1 \). Montre que \( (T_n)_{n≥1} \) est convergente
Pour tout entier naturel \( n≥1 \), \( \ln(n+1) – \ln(n) = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) ≤ H_n – \ln(n) \), or pour tout entier \( n≥1 \), \( 0 ≤ \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \).
Donc pour tout entier \( n≥1 \), \( 0 ≤ T_n \).
\( (T_n)_{n≥1} \) est décroissante et minorée, alors \( (T_n)_{n≥1} \) converge vers un réel \( l \).
4. Montre que \( (T_n)_{n≥1} \) est majorée par 1
\( (T_n)_{n≥1} \) est décroissante. Ainsi, pour tout entier naturel \( n≥1 \), \( T_n≤T_1 \). Or \( T_1=H_1-\ln(1)=H_1=1 \).
On conclut que \( (T_n)_{n≥1} \) est majorée par 1.
5. Conclure que \( l ∈ [0;1] \)
Puisque \( (T_n)_{n≥1} \) est minorée par 0 et majorée par 1, alors \( l ∈ [0;1] \).
Lire aussi: La composition de fonctions
