Ce nom savant peut parfois faire peur, il est également utilisé dans le supérieur dans le chapitre d’algèbre bilinéaire. Au lycée, cela reste dans le cadre de la géométrie dans l’espace, mais en fait, tu fais de l’algèbre bilinéaire sans le savoir (un chapitre assez complexe qui plus est) ! Dans cet article, je t’explique ce qu’est un produit scalaire, comment il fonctionne et comment l’utiliser.
Qu’est-ce qu’un produit scalaire ?
Dans les classes des niveaux inférieurs, tu as appris que tu pouvais additionner deux vecteurs entre eux. Tout comme l’addition de vecteurs, il existe la multiplication de deux vecteurs entre eux. C’est ce qu’on appelle le produit scalaire (ce n’est donc n’est qu’un mot savant pour parler de multiplication).
Point intéressant sur le produit scalaire : contrairement à l’addition de deux vecteurs qui redonne encore un autre vecteur, la multiplication de deux vecteurs, elle, ne donnera plus un autre vecteur. Il s’agira d’un réel et non d’un vecteur. Il est très important de comprendre cela pour le produit scalaire, et c’est d’ailleurs pour cela qu’il s’appelle produit scalaire (étant donné qu’un scalaire est un réel).
Avant tout, il faut que tu prennes conscience qu’il y a deux façons de définir un produit scalaire, en fonction du contexte dans lequel tu te trouves.
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Fonctionnement du produit scalaire dans une base orthonormée (définie en fonction des coordonnées d’un vecteur)
Pour comprendre concrètement comment fonctionne le produit scalaire, tu dois t’intéresser aux coordonnées de chaque vecteur que tu multiplies. En fait, tu vas multiplier la première composante du vecteur u avec la première composante du vecteur v, puis la deuxième composante du vecteur u avec la deuxième composante du vecteur v, et ainsi de suite. Ensuite, tu les additionnes et tu obtiens ton produit scalaire.
Produit scalaire dans le plan
Soit \(u\) et \( v\) deux vecteurs dans un plan \(P\).
On pose \( u \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \) et \( v \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \)
Donc
\(u.v=a \times c+b \times d\)
Par exemple si on a deux vecteurs \( u \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \) et \( v \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \end{pmatrix} \), pour faire multiplier ces deux vecteurs, on utilise le produit scalaire :
\(u.v=2 \times 1 + 5 \times 7=29\)
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Produit scalaire dans l’espace
Soit \(u\) et \( v\) deux vecteurs dans un espace\( E\).
On pose \( u \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \) et \( v \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix} \)
Donc
\(u.v=a \times d+b \times e+c \times f\)
Tu comprends aisément que tu peux le généraliser si les vecteurs comprennent plus de 2 ou 3 coordonnées.
NB : dans le cas où les vecteurs n’auraient qu’une coordonnée, tu dois te rendre compte qu’il s’agit de la multiplication classique telle que tu la connais !
Si on a \( u \begin{pmatrix} a \end{pmatrix} \) et \( v \begin{pmatrix} b \end{pmatrix} \)
Alors \(u.v=a \times b\) tout simplement.
Fonctionnement de la norme dans une base orthonormée (définie en fonction des coordonnées d’un vecteur)
Il est très utile de connaître la distance d’un vecteur. Il s’avère que le produit scalaire permet de la calculer, mais seulement un cas particulier de produit scalaire : la norme. Donc la norme d’un vecteur représente la distance entre les deux points qui définissent l’extrémité de ce vecteur.
Definition
Soit \( u \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \) un vecteur dans le plan \(P\).
La norme est le réel positif ou nul défini par :
\(\mid \mid u \mid \mid = \sqrt{u \times u}\)
donc
\(\mid \mid u \mid \mid= \sqrt{a^2+b^2}\)
Pour comprendre d’où sort cette formule, il faut s’intéresser au produit scalaire.
Rappelle-toi que si \( u \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \) et \( v \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \) sont deux vecteurs dans le plan
\(u.v=a \times c+b \times d\)
Mais dans le cas particulier où \(c=a\) et \(d=b\), c’est à dire où \(u=v\), on a
\(u.u = a^2+b^2\) or comme \(\mid \mid u \mid \mid= \sqrt{u \times u}\), alors en composant par la fonction puissance 2
\(\mid \mid u^2 \mid \mid=u \times u\)
Donc
\(\mid \mid u^2 \mid \mid = a^2 + b^2\) et enfin, en composant par la fonction racine carrée
\(\mid \mid u^2 \mid \mid = \sqrt{a^2+b^2}\)
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Fonctionnement de la norme définie en fonction d’un segment
Définition
Soit u un vecteur du plan et \(A\) et \(B\) deux points tels que \(u= \overrightarrow{AB}\)
La norme est le réel positif ou nul défini par \(\mid \mid \overrightarrow{u} \mid \mid= AB \)
Fonctionnement du produit scalaire défini en fonction d’un segment
Il est possible, et parfois plus commun que tu aies besoin d’utiliser un produit scalaire en ne sachant pas les coordonnées des vecteurs dans lesquels tu travailles, dans ce cas le produit scalaire sera défini d’une autre façon :
Définition
Soit \(u\) et \(v\) deux vecteurs du plan
On appelle produit scalaire de u par v le réel noté \(u.v\) (ce qui se lit \(u\) scalaire \(v\))
\(u.v=\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \mbox{si l’un au moins des deux vecteurs u et v est nul} \\
\mid \mid u \mid \mid \times \mid \mid v \mid \mid \times \cos(u,v) & \mbox{si} \ u \ne 0 \ \mbox{et} \ v \ne 0
\end{array}
\right.\)
J’espère que cet article t’aura mieux aidé à appréhender ce qu’est un produit scalaire. Si tu as encore un peu de mal avec la géométrie en général, n’hésite pas à aller t’entrainer sur quelques exercices que l’on t’a concoctés.
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