Mathématiques : étudier la position relative de droites et de plans

Dans cet article, nous nous intéressons à la position relative de droites et de plans dans l’espace.

N’hésite pas à consulter également le programme de spécialité mathématiques de terminale pour plus de précisions.

Positions relatives de deux droites dans l’espace

Dans l’espace, deux droites peuvent être :

• Coplanaires : elles sont alors parallèles, sécantes ou confondues ;
• Non coplanaires : elles n’ont alors aucun point en commun

Attention

Si, dans l’espace, deux droites n’ont aucun point en commun (c’est-à-dire si 2 droites sont non coplanaires) elles ne sont pas forcément parallèles.

Exemple :

Ici, les droites $d$ et $d’$ n’ont aucun point en commun et ne sont pas parallèles pour autant !

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Positions relatives d’une droite et d’un plan

Il existe plusieurs cas de figures. Soit :

• La droite et le plan peuvent n’ont aucun point en commun. Alors, ils sont parallèles ;

• La droite et le plan ont un seul point en commun. Dans ce cas, la droite perce le plan ;

• La droite et le plan ont une infinité de points en commun. La droite appartient alors au plan.

Positions relatives de trois plans

Considérons $3$ plans $P$, $Q$ et $R$.

• Si $P$ et $Q$ sont parallèles, alors $P$ et $R$ peuvent être soit parallèles, soit sécants. Dans ces deux cas, il n’existe aucun point commun aux trois plans.
• Si $P$ et $Q$ sont sécants selon une droite $D$, alors :
  • Si $D$ est parallèle à $R$, il n’existe aucun point commun aux trois plans
  • Si $D$ perce $R$ en $A$, alors les trois plans ont un point commun unique
  • Si $D$ est incluse dans $R$, alors les trois plans ont une infinité de points en commun, et ces points sont ceux de la droite $D$

Théorème du toit

Soit $P$ et $P’$ deux plans sécants selon une droite $\Delta$. Si une droite $D$ de $P$ est parallèle à une droite $D’$ de $P’$, alors $\Delta$ est parallèle à $D$ et $D’$.

Orthogonalité de droites et de plans

• Dire qu’une droite $D$ est orthogonale à une droite $\Delta$ signifie qu’il existe une droite $\Delta’$ parallèle à $\Delta$ et qui est perpendiculaire à $D$ (et donc $\Delta$ et $\Delta’$ sont coplanaires).

• Dire qu’une droite est orthogonale à un plan signifie qu’elle est orthogonale à toute droite du plan.

Remarque :
De plus, si $D$ et $D’$ sont sécantes, alors elles sont perpendiculaires.

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Théorème

Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.