La géométrie dans l’espace est une partie du programme qu’il ne faut pas négliger. En effet, de nombreux sujets de bac comportent un exercice entier sur ce sujet. Le plus souvent ces exercices ne sont pas très durs à traiter à condition de bien maîtriser les définitions du cours et les méthodes de calcul. N’hésitez pas à consulter notre article sur les questions classiques des exercices de géométrie dans l’espace.
Dans tout cet article, on considère un repère cartésien \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\)
Avant de commencer un exercice de géométrie, pensez toujours à faire un schéma au brouillon. Cela vous aidera à visualiser le problème et pourra vous évitez de nombreuses étourderies.
Les vecteurs en géométrie
Soient 2 points de l’espace A \(\left(\begin{array}{c}{x_A} \\ {y_A} \\ {z_A}\end{array}\right)\) et B \(\left(\begin{array}{c}{x_B} \\ {y_B} \\ {z_B}\end{array}\right)\)
Alors le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \(\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}{x_B – x_A} \\ {y_B – y_A} \\ {z_B -z_A}\end{array}\right)\)
Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées \(\left(\begin{array}{c}{\frac{x_B + x_A}{2}} \\ {\frac{y_B + y_A}{2}} \\ {\frac{z_B + z_A}{2}}\end{array}\right)\)
Vecteurs colinéaires
2 vecteurs \(\vec{u}=\left(\begin{array}{c}{x_u} \\ {y_u} \\ {z_u}\end{array}\right)\) et \(\vec{v} = \left(\begin{array}{c}{x_v} \\ {y_v} \\ {z_v}\end{array}\right)\) sont colinéaires, s’il existe un réel \(\lambda\) tel que \(\vec{u}= \lambda \vec{v}\).
Cela revient à résoudre le système
$$ \left\{\begin{array}{l}{x_u = \lambda x_v} \\ {y_u = \lambda y_v} \\ {z_u = \lambda z_v} \end{array}\right. $$
On a l’équivalence entre trois points A, B, C sont alignés et les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont coliénaires.
Exemple (issu du bac 2016) : soient trois points : A (1,2,3) , B(3,0,1) et C(-1,0,1). Les points sont ils alignés ? pour montrer que 3 points ne sont pas alignés, il suffit de calculer deux vecteurs et de montrer qu’ils sont non colinéaires. Or on a \(\overrightarrow{AB} = \)(-2; −2; −2) et \(\overrightarrow{AC} =\) (2; −2; −2)
On cherche donc à résoudre
$$ \left\{\begin{array}{l}{-2 = \lambda 2} \\ {-2 =- \lambda 2} \\ {-2 = \lambda 2} \end{array}\right. $$
La première équation donne \(\lambda = -1\) la seconde \(\lambda = 1\). Il est donc clair que ce système, n’a pas de solution. Donc les 2 vecteurs ne sont pas colinéaires. Donc les 3 points ne sont pas alignés.
Équation paramétrique d’une droite
Considérons un point A \(\left(\begin{array}{c}{x_A} \\ {y_A} \\ {z_A}\end{array}\right)\) et un vecteur \(\vec{u}=\left(\begin{array}{c}{x_u} \\ {y_u} \\ {z_u}\end{array}\right)\).
Alors la droite \(D\) passant par A et de vecteur directeur \(\vec{u}\) est l’ensemble des points M tels que \(\overrightarrow{AM}= t \vec{u}\) où \(t \in \mathbb{R}\)
Une représentation paramétrique de la droite D est :
$$ \left\{\begin{array}{l}{x =x_A + t x_u} \\ {y =y_A + t y_u, t \in \mathbb{R}} \\ {z = z_A+t z_u} \end{array}\right. $$
Example : La droite (AB) passant par le point A, \(\left(\begin{array}{c}{1} \\ {2} \\ {3}\end{array}\right)\) et qui a pour vecteur directeur \(\left(\begin{array}{c}{2} \\ {-2} \\ {2}\end{array}\right)\)
Une représentation paramétrique est donc :
$$ \left\{\begin{array}{l}{x =1+2t} \\ {y =2-2t, t \in \mathbb{R}} \\ {z = 3-2t} \end{array}\right. $$
Équation paramétrique d’un plan
Pour définir un plan, il faut un point A \(\left(\begin{array}{c}{x_A} \\ {y_A} \\ {z_A}\end{array}\right)\) et 2 vecteurs non colinéaires \(\vec{u}=\left(\begin{array}{c}{x_u} \\ {y_u} \\ {z_u}\end{array}\right)\), \(\vec{v}=\left(\begin{array}{c}{x_v} \\ {y_v} \\ {z_v}\end{array}\right)\).
Le plan passant par ce point A et qui admet pour vecteurs directeurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est constitué de l’ensemble des points M tels que $ \(\overrightarrow{AM}= t \vec{u}+t’ \vec{v}\) où \(t,t’ \in \mathbb{R}\)$
Le système suivant nous donne une représentation paramétrique du plan \(P\):
$$ \left\{\begin{array}{l}{x =x_A + t x_u +t’ x_v} \\ {y =y_A + t y_u + t’ y_v, t, t’\in \mathbb{R}} \\ {z = z_A+t z_u+t’ z_v} \end{array}\right. $$
Example : Le plan P passant par le point A, \(\left(\begin{array}{c}{1} \\ {2} \\ {3}\end{array}\right)\) et qui a pour vecteur directeur \(\left(\begin{array}{c}{2} \\ {-2} \\ {2}\end{array}\right)\) et \(\left(\begin{array}{c}{3} \\ {-1} \\ {0}\end{array}\right)\) a pour représentation paramétrique :
$$ \left\{\begin{array}{l}{x =1+2t+3t’} \\ {y =2-2t-t’, t,t’\in \mathbb{R}} \\ {z = 3-2t} \end{array}\right. $$
Produit scalaire
Soient \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) deux vecteurs.
Le produit scalaire de ces 2 vecteurs est : \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} = \| \overrightarrow{AB} \| \| \overrightarrow{AC} \| cos(BAC)\)
On notera que si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}\) alors \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AB} = \|\overrightarrow{AB} \| \|\overrightarrow{AB} \| cos(0) = (\|\overrightarrow{AB} \|)^2\) \(\|\overrightarrow{AB} \|\) est appelée la norme du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
Règles de calcul
Soient 3 vecteurs, \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) alors on a les règles de calcul suivantes:
- \(\vec{u} . \vec{v}= \vec{v} . \vec{u}\)
- \((\lambda \vec{u}) . \vec{v}= \lambda (\vec{u} . \vec{v})\)
- \((\vec{u} + \vec{v}) . \vec{w}= \vec{u} . \vec{w} + \vec{u} . \vec{v}\)
Interprétation du produit scalaire
En reprenant la formule du produit scalaire \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} = \|\overrightarrow{AB} \| \| \overrightarrow{AC} \| cos(BAC)\) on peut en déduire :
- si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires de même sens alors \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} = \|\overrightarrow{AB} \| \| \overrightarrow{AC} \|\)
- si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires de même sens opposés alors \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} = – \|\overrightarrow{AB} \| \| \overrightarrow{AC} \|\)
- les deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont orthogonaux si et seulement si \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} = 0\)
Normes et distances
Soient 2 vecteurs, \(\vec{u}\) \(\left(\begin{array}{c}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right)\), \(\vec{v}\) et \(\vec{v}\) \(\left(\begin{array}{c}{x’} \\ {y’} \\ {z’}\end{array}\right)\).
Alors \(\vec{u} . \vec{v} = xx’+yy’+zz’\)
La norme du vecteur \(\vec{u}\) est \(\| \vec{u} \| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)
Considérons 2 points de l’espace A \(\left(\begin{array}{c}{x_A} \\ {y_A} \\ {z_A}\end{array}\right)\) et B \(\left(\begin{array}{c}{x_B} \\ {y_B} \\ {z_B}\end{array}\right)\)
Alors la distance entre ces 2 points est \(AB= \sqrt{(x_B – x_A)^2 +(y_B – y_A)^2 + (z_B – z_A)^2}\)
Vecteur normal à un plan
Nous avons vu qu’on peut définir un plan grâce à un point et 2 vecteurs non colinéaires. Nous avions alors la définition suivante : le plan passant par ce point A et qui admet pour vecteurs directeurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est constitué de l’ensemble des points M tels que \(\overrightarrow{AM}= t \vec{u}+t’ \vec{v}\) où \(t,t’ \in \mathbb{R}\).
Mais on également définir un plan avec un point A \(\left(\begin{array}{c}{x_A} \\ {y_A} \\ {z_A}\end{array}\right)\) et un vecteur normal \(\vec{n}\) \(\left(\begin{array}{c}{a} \\ {b} \\ {c}\end{array}\right)\). Le plan P est alors l’ensemble des points M tels que \(\overrightarrow{AM}. \vec{n} = 0\).
Une équation du plan \(P\) est alors \(ax+by+cz+d=0\).
On dit que \(\vec{n}\) est un vecteur normal au plan \(P\).
Considérons 2 plans, \(P\) et \(P’\) ayant respectivement pour vecteur directeur \(\vec{n}\) et \(\vec{n’}\)
- \(P\) et \(P’\) sont orthogonaux si et seulement si \(\vec{n}\) et \(\vec{n’}\) sont orthogonaux
- \(P\) et \(P’\) sont parallèles si et seulement si \(\vec{n}\) et \(\vec{n’}\) sont colinéaires.
Intersection de plusieurs objets
En géométrie, l’intersection de plusieurs objets mathématiques est l’ensemble des points qui vérifient les équations de tous ces objets.
L’intersection de 2 droites distinctes peut-être :
- Vide, si les 2 droites ne sont sécantes
- Réduite à un point si les droites sont sécantes.
L’intersection d’un plan et d’une droite peut être :
- vide si la droite n’est pas contenu dans le plan et est parallèle au plan
- réduite à un point, si la droite n’est pas parallèle au plan
- la droite toute entière si elle est contenu dans le plan
Apprenez bien ces méthodes qui vous feront progresser en géométrie ! Entraînez vous avec des exercices et n’hésitez pas à consulter nos autres fiches d’aide pour le BAC.
Vous pouvez aussi vous entraîner en géométrie grâce aux sujets d’annale ; le sujet/corrigé du bac de maths S 2018 est disponible ici . Le sujet de 2019 est disponible avec son corrigé ici.
