En mathématiques, les nombres ne sont pas seulement une suite infinie de chiffres. Ils sont classés en ensembles, chacun ayant ses propres caractéristiques. Dans cet article, nous allons découvrir les principaux ensembles de nombres que tu rencontreras au lycée : les nombres naturels (ℕ), entiers (ℤ), décimaux (𝔻), rationnels (ℚ) et réels (ℝ). En bonus, nous te donnerons un avant-goût des nombres complexes (ℂ) pour aller plus loin.
Les principaux ensembles de nombres
Les nombres naturels (ℕ)
Les nombres naturels sont les nombres que l’on utilise pour compter. Ils sont toujours positifs et entiers. Cet ensemble commence à zéro et s’étend à l’infini :
\[ \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, 4, \dots \} \]
Exemples : 0, 5, 100
Propriétés : Les nombres naturels sont positifs et ne comportent pas de parties décimales.
Les nombres entiers (ℤ)
L’ensemble des nombres entiers comprend tous les nombres naturels ainsi que leurs opposés (nombres négatifs). Cet ensemble est infini dans les deux sens, positif et négatif :
\[ \mathbb{Z} = \{ \dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \} \]
Exemples : -7, 0, 14
Propriétés : Un nombre entier peut être positif ou négatif, mais reste toujours sans partie décimale.
Les nombres décimaux (𝔻)
Les nombres décimaux sont tous les nombres qui peuvent être écrits avec une partie entière et une partie décimale finie. En d’autres termes, ce sont les nombres que l’on peut écrire sous forme de fractions dont le dénominateur est une puissance de 10 (comme 0,5 ou 0,25) :
\[ \mathbb{D} = \left\{ \frac{a}{b} \; | \; a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0, \text{ avec } b = 10^n \right\} \]
Exemples : 0,2 ; 1,75 ; -3,14
Propriétés : Les nombres décimaux ont une partie fractionnaire qui s’arrête après un certain nombre de chiffres.
Les nombres rationnels (ℚ)
L’ensemble des nombres rationnels contient tous les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction \( \frac{a}{b} \), où \( a \) et \( b \) sont des entiers et \( b \neq 0 \). Ce sont donc tous les nombres que l’on peut exprimer sous forme de fractions :
\[ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \; | \; a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \right\} \]
Exemples : \( \frac{3}{4}, 2, -7, 0.5 \)
Propriétés : Un nombre rationnel peut avoir une écriture décimale qui s’arrête (comme 0,25) ou qui est périodique (comme 0,3333…).
Les nombres réels (ℝ)
L’ensemble des nombres réels regroupe tous les nombres rationnels et irrationnels. Ils comprennent donc les nombres que tu peux placer sur une droite numérique, qu’ils aient une écriture décimale finie, infinie et périodique, ou infinie et non périodique.
Exemples : -2, \( \sqrt{2}, \pi, 3.14 \)
Propriétés : Tous les nombres que l’on peut représenter par un point sur la droite numérique font partie des réels.
Remarque : L’ensemble des nombres naturels \( \mathbb{N} \) est entièrement contenu dans l’ensemble des entiers relatifs \( \mathbb{Z} \).
On dit donc que \( \mathbb{N} \) est inclus dans \( \mathbb{Z} \), ce qui s’écrit \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \).
Par ailleurs, nous avons les inclusions suivantes : \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \).
Cela illustre que chaque ensemble de nombres est progressivement élargi pour inclure d’autres types de nombres.
Découvre notre article sur : Comment déterminer une droite de régression linéaire ?
Exercices
Exercice 1
Classifie les nombres suivants dans les ensembles ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ :
\( 7, -3, 0.25, \frac{9}{2}, \sqrt{2} \)
Correction :
– \( 7 \in \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \)
– \( -3 \in \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \)
– \( 0.25 \in \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \)
– \( \frac{9}{2} \in \mathbb{Q}, \mathbb{R} \)
– \( \sqrt{2} \in \mathbb{R} \) (irrationnel)
Exercice 2
Classe les nombres suivants dans les bons ensembles :
\( 4, -5, 0.75, 1.3333… , \pi, -7 \)
Correction :
– \( 4 \in \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \)
– \( -5 \in \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \)
– \( 0.75 \in \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \)
– \( 1.3333… \in \mathbb{Q}, \mathbb{R} \)
– \( \pi \in \mathbb{R} \) (irrationnel)
– \( -7 \in \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \)
Exercice 3
Donne un exemple de nombre qui :
- Est un nombre entier mais pas naturel.
- Est un nombre décimal mais pas entier.
- Est un nombre irrationnel.
Jette un œil à notre article pour calculer une moyenne.
Pour aller plus loin : les nombres complexes (ℂ)
Si tu souhaites approfondir tes connaissances en mathématiques ou envisager l’option « mathématiques expertes » en terminale, tu peux alors te pencher sur les nombres complexes. Ce sont des nombres qui n’ont pas de solution dans l’ensemble des réels. Un nombre complexe s’écrit sous la forme :
\[ z = a + bi \]
où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels, et \( i \) est l’unité imaginaire, définie par la propriété suivante :
\[ i^2 = -1 \]
Par exemple, \( 3 + 2i, -1 + 4i, i \) sont des nombres complexes.
L’ensemble des nombres complexes \( \mathbb{C} \) inclut donc tous les nombres réels (quand \( b = 0 \)) et bien plus encore. Les nombres complexes sont très utiles en ingénierie, physique, et dans de nombreuses autres sciences pour modéliser des phénomènes comme les ondes et les courants électriques.
Exercice
Sachant que \( i^2 = -1 \), calcule les expressions suivantes :
- \( i^3 \)
- \( i^4 \)
- \( (2 + 3i) \times i \)
Correction :
1. On sait que \( i^3 = i^2 \times i = (-1) \times i = -i \).
Conclusion : \( i^3 = -i \).
2. On utilise \( i^4 = i^2 \times i^2 = (-1) \times (-1) = 1 \).
Conclusion : \( i^4 = 1 \).
3. En appliquant la distributivité :
\( (2 + 3i) \times i = 2i + 3i^2 = 2i + (-3) \).
Conclusion : \( (2 + 3i) \times i = -3 + 2i \).
Montre la convergence de la série harmonique (niveau terminale) grâce à cet article.
