À la suite de cet article, tu seras capable de calculer une moyenne et une moyenne pondérée. Si tu veux te préparer au brevet ou si tu souhaites calculer une moyenne dans la vie de tous les jours, cet article est fait pour toi.
Calculer la moyenne d’une série statistique
Pour calculer la moyenne \( \bar{X} \) d’une série statistique, tu dois :
- Additionner les valeurs du caractère de la série : \( x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n \).
- Diviser ensuite par le nombre de valeurs de la série : \( n \).
Autrement dit : \( \bar{X} = \frac{x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n}{n} \).
Exercice d’application
Calculer le nombre moyen de notifications que Lucas a reçu sur son téléphone la semaine dernière :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Jour de la semaine} & \text{Lundi} & \text{Mardi} & \text{Mercredi} & \text{Jeudi} & \text{Vendredi} & \text{Samedi} & \text{Dimanche} \\
\hline
\text{Nombres de notifications} & 130 & 129 & 71 & 117 & 79 & 47 & 78 \\
\hline
\end{array}
\]
Pour calculer la moyenne \( \bar{X} = \frac{130+129+71+117+79+47+78}{7} = 93 \).
Lucas a reçu en moyenne 93 notifications par jour la semaine dernière.
Avec EXCEL
La fonction MOYENNE sur Excel te permet de calculer une moyenne
\( =\text{MOYENNE(toutes les valeurs du caractère de la série)} \)
Ou avec la fonction SOMME
\( =\text{SOMME(toutes les valeurs du caractère de la série)}/\text{nombre de valeurs de la série)} \).
Calculer la moyenne pondérée d’une série statistique
Pour calculer la moyenne pondérée \( \bar{X} \) d’une série statistique, tu dois :
- Multiplier chaque valeur du caractère de la série (\( x_1,x_2,x_3,\ldots,x_p \)) par leur effectif associé (\( n_1,n_2,\ldots,n_p \)).
- Additionner ensuite ces produits.
- Ensuite, tu dois diviser ceci par la somme des effectifs : \( n_1,n_2,\ldots,n_n \).
Autrement dit : \( \bar{X} = \frac{x_1 n_1+x_2 n_2+x_3 n_3+\ldots+x_n n_p}{n_1+n_2+\ldots+n_n} \).
Chaque maîtresse de l’école ont dû faire un récapitulatif des punitions données dans les classes de CM2.
Mr Girard a rendu son rapport à la directrice hier :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Nombre de punitions} & 0 & 1 & 2 & 5 & 12 & 20 \\
\text{Nombre d’élèves} & 13 & 8 & 5 & 3 & 2 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]
Mme Dupont a elle aussi rendu son rapport hier :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Nombre de punitions} & 0 & 1 & 3 & 21 & 34 \\
\text{Nombre d’élèves} & 15 & 10 & 4 & 2 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Affirmation 1 :
Les élèves de Mr Girard ont reçu 2,4 punitions en moyenne.
Affirmation 2 :
La classe de Mme Dupont est la plus sage.
L’affirmation est vraie :
Le nombre de punitions est le caractère de la série et le nombre d’élèves est l’effectif de la série.
\[ \bar{X} = \frac{(0 \times 13)+(1 \times 8)+(2 \times 5)+(5 \times 3)+(12 \times 2)+(20 \times 1)}{13+8+5+3+2+1} \approx 2,4\]
L’affirmation est fausse :
La classe de Mme Dupont est plus dissipée, en effet, si on calcule la moyenne pondérée on peut s’apercevoir qu’en moyenne chaque élève a reçu 3,06 punitions.
\[ \bar{X} = \frac{(0 \times 15)+(1 \times 10)+(3 \times 4)+(21 \times 2)+(34 \times 1)}{15+10+4+2+1} \approx 3,06 \]
Sur EXCEL, pour calculer la moyenne pondérée, il faut entrer la formule :
\( =\text{SOMMEPROD(toutes valeurs du caractère de la série;effectif)}/\text{SOMME(effectif)} \)
Ou
\( =\text{SOMMEPROD(toutes valeurs du caractère de la série;toutes les valeurs de l’effectif)}/\text{SOMME(toutes les valeurs de l’effectif)} \)
Exemple : pour calculer le nombre moyen de punitions dans la classe de Mr Girard.
Les élèves de Mr Girard ont reçu 2,41 punitions en moyenne.
À toi de jouer
Exercice n°1
Voici un tableau récapitulant le nombre d’étudiants étrangers en mobilité internationale en France entre 2018-2022.
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Année} & \text{Nombre d’étudiants} \\
\hline
2018 & 202 151 \\
2019 & 202 140 \\
2020 & 189 935 \\
2021 & 202 397 \\
2022 & 203 943 \\
\hline
\end{array}
\]
Calculer le nombre moyen d’étudiants étrangers en France entre 2013 et 2022.
Correction
\[ \bar{X} = \frac{202 151+202 140+189 935+202 397+203 943}{5} = 200 113 \]
Exercice n°2
Voici les notes de Lola, or tous les coefficients ne sont pas les mêmes.
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{T1} & 12 (2) & 20 (1) & 14 (2) & 8 (0,75) \\
\hline
\text{T2} & 5 (1) & 8 (2) & 7 (5) & 20 (4) \\
\hline
\text{T3} & 14 (1) & 16 (2) & 18 (3) & 20 (2) \\
\hline
\end{array}
\]
1) Calculer les moyennes du trimestre 1 (T1), T2 et T3.
2) Calculer la moyenne annuelle de Lola.
Correction
1) Voici la moyenne de Lola pour le T1 :
\[ \bar{X} = \frac{12 \times 2+20 \times 1+14 \times 2+8 \times 0,75}{5,75} = 13,57 \]
En procédant de la même façon nous nous apercevons que Lola a eu 10,46 de moyenne au T2 et 17,5 de moyenne au T3.
2) La moyenne annuelle de Lola est de :
\[ \bar{X} = \frac{13,57+10,46+17,5}{3} = 13,84 \]
Cette année, Lola a eu 13,84 de moyenne générale.
