À la suite de cet article, tu seras capable de calculer une moyenne et une moyenne pondérée. Si tu veux te préparer au brevet ou si tu souhaites calculer une moyenne dans la vie de tous les jours, cet article est fait pour toi.
Comment calculer la moyenne d’une série statistique ?
Pour calculer la moyenne \( \bar{X} \) d’une série statistique, tu dois :
- Additionner les valeurs du caractère de la série : \( x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n \).
- Diviser ensuite par le nombre de valeurs de la série : \( n \).
Autrement dit : \( \bar{X} = \frac{x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n}{n} \).
Exercice d’application – Exemple de calcul de moyenne
Calculer le nombre moyen de notifications que Lucas a reçu sur son téléphone la semaine dernière :
| Jour de la semaine | Lundi | Mardi | Mercredi | Jeudi | Vendredi | Samedi | Dimanche |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de notifications | 130 | 129 | 71 | 117 | 79 | 47 | 78 |
Pour calculer la moyenne \( \bar{X} = \frac{130+129+71+117+79+47+78}{7} = 93 \).
Lucas a reçu en moyenne 93 notifications par jour la semaine dernière.
Comment faire une moyenne avec EXCEL ?
La fonction MOYENNE sur Excel te permet de calculer une moyenne.
\( =\text{MOYENNE(toutes les valeurs du caractère de la série)} \)
Ou avec la fonction SOMME
\( =\text{SOMME(toutes les valeurs du caractère de la série)}/\text{nombre de valeurs de la série)} \).
Comment calculer la moyenne pondérée d’une série statistique ?
Pour calculer la moyenne pondérée \( \bar{X} \) d’une série statistique, tu dois :
- Multiplier chaque valeur du caractère de la série (\( x_1,x_2,x_3,\ldots,x_p \)) par leur effectif associé (\( n_1,n_2,\ldots,n_p \)).
- Additionner ensuite ces produits.
- Ensuite, tu dois diviser ceci par la somme des effectifs : \( n_1,n_2,\ldots,n_n \).
Autrement dit : \( \bar{X} = \frac{x_1 n_1+x_2 n_2+x_3 n_3+\ldots+x_n n_p}{n_1+n_2+\ldots+n_n} \).
Exemple de calcul de moyenne pondérée
Chaque maîtresse de l’école ont dû faire un récapitulatif des punitions données dans les classes de CM2.
Mr Girard a rendu son rapport à la directrice hier :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Nombre de punitions} & 0 & 1 & 2 & 5 & 12 & 20 \\
\text{Nombre d’élèves} & 13 & 8 & 5 & 3 & 2 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]
Mme Dupont a elle aussi rendu son rapport hier :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Nombre de punitions} & 0 & 1 & 3 & 21 & 34 \\
\text{Nombre d’élèves} & 15 & 10 & 4 & 2 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]
👉🏻 Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Affirmation 1 :
Les élèves de Mr Girard ont reçu 2,4 punitions en moyenne.
Affirmation 2 :
La classe de Mme Dupont est la plus sage.
L’affirmation est vraie :
Le nombre de punitions est le caractère de la série et le nombre d’élèves est l’effectif de la série.
\[ \bar{X} = \frac{(0 \times 13)+(1 \times 8)+(2 \times 5)+(5 \times 3)+(12 \times 2)+(20 \times 1)}{13+8+5+3+2+1} \approx 2,4\]
L’affirmation est fausse :
La classe de Mme Dupont est plus dissipée, en effet, si on calcule la moyenne pondérée, on peut s’apercevoir qu’en moyenne chaque élève a reçu 3,06 punitions.
\[ \bar{X} = \frac{(0 \times 15)+(1 \times 10)+(3 \times 4)+(21 \times 2)+(34 \times 1)}{15+10+4+2+1} \approx 3,06 \]
Sur EXCEL, pour calculer la moyenne pondérée, il faut entrer la formule :
\( =\text{SOMMEPROD(toutes valeurs du caractère de la série;effectif)}/\text{SOMME(effectif)} \)
Ou
\( =\text{SOMMEPROD(toutes valeurs du caractère de la série;toutes les valeurs de l’effectif)}/\text{SOMME(toutes les valeurs de l’effectif)} \)
👉🏻 Exemple : pour calculer le nombre moyen de punitions dans la classe de Mr Girard.
Les élèves de Mr Girard ont reçu 2,41 punitions en moyenne.
Tableau récapitulatif des formules de calcul de moyenne
| Type de Moyenne | Formule | Explication | Exemple |
|---|---|---|---|
| Moyenne arithmétique | \[ \text{Moyenne} = \frac{\sum x_i}{n} \] | Somme des valeurs divisée par leur nombre total. | \[ \frac{10 + 20 + 30}{3} = 20 \] |
| Moyenne pondérée | \[ \text{Moyenne} = \frac{\sum (x_i \times w_i)}{\sum w_i} \] | Chaque valeur est multipliée par son coefficient avant de faire la moyenne. | \[ \frac{(10 \times 2) + (20 \times 3) + (30 \times 5)}{2+3+5} = 23 \] |
| Moyenne géométrique | \[ \text{Moyenne} = \sqrt[n]{\prod x_i} \] | Racine n-ième du produit des valeurs, utile pour les taux de croissance. | \[ \sqrt[3]{2 \times 4 \times 8} = 4 \] |
| Moyenne harmonique | \[ \text{Moyenne} = \frac{n}{\sum \frac{1}{x_i}} \] | Moyenne utilisée pour les vitesses moyennes et les rapports. | \[ \frac{3}{\frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30}} = 15 \] |
💡 Astuce : La moyenne arithmétique est la plus courante, mais la moyenne pondérée est souvent utilisée en évaluation scolaire. Les moyennes géométrique et harmonique sont utiles dans des cas plus spécifiques comme la finance et la physique.
Exercices pratiques sur le calcul de moyennes
Exercice n°1
Voici un tableau récapitulant le nombre d’étudiants étrangers en mobilité internationale en France entre 2018-2022.
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Année} & \text{Nombre d’étudiants} \\
\hline
2018 & 202 151 \\
2019 & 202 140 \\
2020 & 189 935 \\
2021 & 202 397 \\
2022 & 203 943 \\
\hline
\end{array}
\]
Calculer le nombre moyen d’étudiants étrangers en France entre 2013 et 2022.
Correction
\[ \bar{X} = \frac{202 151+202 140+189 935+202 397+203 943}{5} = 200 113 \]
Exercice n°2
Voici les notes de Lola, or tous les coefficients ne sont pas les mêmes.
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{T1} & 12 (2) & 20 (1) & 14 (2) & 8 (0,75) \\
\hline
\text{T2} & 5 (1) & 8 (2) & 7 (5) & 20 (4) \\
\hline
\text{T3} & 14 (1) & 16 (2) & 18 (3) & 20 (2) \\
\hline
\end{array}
\]
1) Calculer les moyennes du trimestre 1 (T1), T2 et T3.
2) Calculer la moyenne annuelle de Lola.
Correction
1) Voici la moyenne de Lola pour le T1 :
\[ \bar{X} = \frac{12 \times 2+20 \times 1+14 \times 2+8 \times 0,75}{5,75} = 13,57 \]
En procédant de la même façon, nous nous apercevons que Lola a eu 10,46 de moyenne au T2 et 17,5 de moyenne au T3.
2) La moyenne annuelle de Lola est de :
\[ \bar{X} = \frac{13,57+10,46+17,5}{3} = 13,84 \]
Cette année, Lola a eu 13,84 de moyenne générale.
FAQ : comment calculer une moyenne ?
Comment calculer une moyenne avec des coefficients ?
Pour calculer une moyenne avec des coefficients, on utilise la formule de la moyenne pondérée : \[ \text{Moyenne pondérée} = \frac{\sum (\text{valeur} \times \text{coefficient})}{\sum \text{coefficients}} \] Il faut multiplier chaque valeur par son coefficient, additionner les résultats obtenus, puis diviser par la somme des coefficients.
Quelle est la différence entre moyenne simple et moyenne pondérée ?
La moyenne simple est calculée en additionnant toutes les valeurs et en divisant par leur nombre total. La moyenne pondérée prend en compte des coefficients attribués à chaque valeur, ce qui permet de donner plus d’importance à certaines données. Elle est utilisée lorsque certaines valeurs ont plus de poids dans le calcul.
Comment calculer une moyenne sur Excel ?
Sur Excel, la fonction =MOYENNE(A1:A10) permet de calculer la moyenne des valeurs contenues dans la plage A1 à A10.
Pour une moyenne pondérée, utilisez la formule =SOMMEPROD(A1:A10, B1:B10) / SOMME(B1:B10), où A1:A10 contient les valeurs et B1:B10 les coefficients associés.
Quelle est la formule de la moyenne en mathématiques ?
La formule de la moyenne arithmétique est : \[ \text{Moyenne} = \frac{\sum \text{valeurs}}{\text{nombre total de valeurs}} \] Cela signifie qu’il faut additionner toutes les valeurs d’un ensemble puis diviser par leur nombre total.
Quels sont les types de moyennes en statistiques ?
En statistiques, il existe plusieurs types de moyennes : – **Moyenne arithmétique** : la plus courante, obtenue en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par leur nombre total. – **Moyenne pondérée** : prend en compte un poids ou coefficient attribué à chaque valeur. – **Moyenne géométrique** : utilisée pour des taux de croissance, calculée avec la racine n-ième du produit des valeurs. – **Moyenne harmonique** : utilisée pour les vitesses moyennes, calculée comme l’inverse de la moyenne des inverses des valeurs.
Besoin d’aide en maths ? Consulte nos autres fiches de révision et teste tes connaissances avec nos exercices interactifs !
