Nous allons travailler ensemble sur une notion fondamentale en mathématiques : la médiane. Tu vas retrouver des calculs de médiane dans de nombreux exercices de statistiques. Cet article est justement là pour te permettre d’apprendre les techniques pour calculer la valeur d’une médiane dans différents cas et te livrer quelques astuces indispensables. Tu pourras même t’entraîner avec deux exercices corrigés en fin de cet article et devenir ainsi un vrai as de la médiane.
Qu’est-ce qu’une médiane ?
La médiane désigne la valeur « du milieu » qui partage une série (rangée par ordre croissant ou décroissant) en deux groupes de taille identique. Ainsi, 50% des valeurs de la série sont en dessous de la médiane et 50% au-dessus de la médiane. Pour rappel, une série désigne un ensemble de données ou de nombres souvent ordonnés par ordre croissant (du plus petit au plus grand) ou décroissant (du plus grand au plus petit). Une série peut contenir un nombre pair ou impair de nombres.
Si une série ordonnée contient un nombre impair de valeurs alors la médiane est la valeur centrale.
Exemple : pour la série 3, 5, 7, 10, 12, qui contient 5 chiffres (impair), la médiane est alors la valeur centrale, donc 7.
Nous verrons ensuite comment faire lorsqu’elle contient un nombre pair d’éléments.
Tu as besoin d’un petit coup de pouce sur les racines carrées ou sur la fonction valeur absolue ? Jette un coup d’œil à nos articles sur tout ce qu’il faut savoir sur les racines carrées ou sur tout ce qu’il faut connaître sur la valeur absolue.
Comment calculer une médiane ?
Je te parle depuis le début de série ordonnée, mais qu’est-ce que cela signifie ? Une série ordonnée est une série qui est rangée par ordre croissant (ou décroissant). C’est la première étape pour trouver et calculer une médiane : ordonner sa série.
Pour ce faire, il faut que tu mettes les nombres du plus petit au plus grand pour avoir un ordre croissant (ou du plus grand au plus petit pour un ordre décroissant). Attention à ne pas faire d’erreur de rédaction dans ton ordination, surtout dans les matières scientifiques !
Prenons la série suivante : \( 12,5,3,10,7 \) et on veut la ranger par ordre croissant et décroissant :
- par ordre croissant, on a alors \( 3,5,7,10,12 \)
- par ordre décroissant, on a \( 12,10,7,5,3 \)
Une fois que ta série est ordonnée, on passe à la deuxième étape : déterminer si le nombre d’éléments de la série est pair ou impair. Il faut que tu comptes alors le nombre d’éléments dans ta série.
Dans celle ci-dessus, il y a 5 éléments, donc la médiane est 7. En effet, tu l’as compris lorsque la série ordonnée comporte un nombre impair d’éléments, alors la médiane est la valeur centrale.
Mais si la série comporte un nombre pair d’éléments, il faut alors s’intéresser aux deux valeurs du milieu et faire la moyenne de ces deux nombres centraux. Par exemple, si on prend la série \( 2, 4, 6, 8 \) qui comporte quatre éléments.
Les deux valeurs du milieu sont \( 4 \) et \( 6 \). Pour trouver la médiane, on fait alors la moyenne de ces deux nombres :
\( \displaystyle \text{Médiane} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
Donc la médiane de cette série est 5.
Si je résume, il y a donc trois étapes :
- Ordonner ta série (par ordre croissant ou décroissant)
- Déterminer si le nombre d’éléments est pair ou impair
- Réaliser le calcul de la médiane
Ne pas confondre moyenne et médiane
Attention, il ne faut surtout pas confondre médiane et moyenne. Pour rappel, la moyenne correspond à la somme de toutes les valeurs (d’une série) divisée par le nombre total d’éléments. On a ainsi, pour une série composée de \( n \) valeurs \( \displaystyle x_1 + x_2 + \dots + x_n \), le calcul suivant de la moyenne, notée \( \bar{X} \) :
\( \displaystyle \bar{X} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \)
Mais il n’existe pas qu’un seul calcul de moyenne, comme te l’explique d’ailleurs cet autre article !
Contrairement à la moyenne, la médiane n’est qu’une question de position dans la série. Ainsi, la médiane ne sera pas autant influencée que la moyenne dans une série contenant des valeurs importantes.
Prenons un exemple pour mieux comprendre cette idée :
Une boulangère fait ses comptes au bout d’une heure. Elle a reçu la série suivante de revenus : 2, 3, 5 et 50 euros par des clients différents. La moyenne de ces revenus sur l’heure est donc \( \displaystyle \frac{2 + 3 + 5 + 50}{4} = 15 \text{ euros} \). Tandis que la médiane est \( \displaystyle \frac{3 + 5}{2} = 4 \text{ euros} \). Ainsi, la valeur forte (50 euros) influencera largement plus la moyenne que la médiane.
Astuce pour trouver le rang d’une médiane
Pour connaître le rang de la médiane dans une série ordonnée autrement dit savoir où est situé la médiane dans ta suite de nombres): tu peux ajouter 1 au nombre total d’éléments de ta série et divisé ce résultat par 2.
Exemples : Si on reprend la série \( 3,5,7,10,12 \). Il y a 5 éléments, donc :
\( \displaystyle \text{Rang de la médiane} = \frac{5 + 1}{2} = 3 \)
La médiane est donc le troisième élément de la liste. Il s’agit bien de 7.
De même, si on reprend la série \( 2, 4, 6, 8 \), Il y a 4 éléments, donc :
\( \displaystyle \text{Rang de la médiane} = \frac{4 + 1 }{2} = 2,5 \).
La médiane est donc située entre le deuxième et le troisième élément de la liste. On sait donc qu’il faut faire la moyenne de 4 et 6 pour obtenir la médiane.
Exercices d’entraînements sur le calcul de médiane
Exercice 1
Trouve la médiane pour chaque série ci-dessous :
- Série 1 : \( 15,7,9,3,12 \)
- Série 2 : \( 8,5,10,2,14,7,6,4 \)
Exercice 2 (niveau difficile)
Une entreprise de vente de voitures en location a relevé les revenus mensuels de 9 de ses employés pour le mois de février. Voici les revenus mensuels (en milliers d’euros) :
\( 2500, 4200, 1800, 7600, 5500, 12000, 3100, 4700, 9000 \)
Calcule la médiane et la moyenne des revenus mensuels.
Correction des exercices
Correction exercice 1
Pour la série 1, on commence par ordonner la série et on a \( 3, 7, 9, 12, 15 \).
Puis on constate qu’il y a 5 éléments dans la série, donc un nombre impair d’éléments dans cette série. La médiane est donc la valeur centrale, celle à la 3e position, car \( \displaystyle \frac{5 + 1}{2} = 3 \).
La médiane de la série 1 est donc 9.
Pour la série 2, on commence aussi par ordonner la série et on a \( 2,4,5,6,7,8,10,14 \).
Il y a 8 éléments dans la série. Les deux valeurs centrales sont 6 et 7.
\( \displaystyle \text{Médiane} = \frac{6 + 7}{2} = \frac{13}{2} = 6,5 \)
La médiane de la série 2 est donc 6,5.
Correction exercice 2
Pour la médiane :
1re étape : On ordonne la série et on a \( 1800, 2500, 3100, 4200, 4700, 5500, 7600, 9000, 12000 \).
2e étape : On observe qu’il y a 9 termes dans la série. Donc la médiane se situe à la 5e position, autrement dit la position centrale car
\( \displaystyle \text{Rang de la médiane} = \frac{9+1}{2} = 5. \)
La médiane des revenus mensuels de cette entreprise est donc 4 700 euros.
Pour la moyenne :
On fait la somme de tous les revenus et on a :
\(
2500 + 4200 + 1800 + 7600 + 5500 + 12000 + 3100 + 4700 + 9000 = 50400
\)
Puis on divise par le nombre d’éléments (donc 9 éléments). Et on a alors
\(
\displaystyle \text{Moyenne} = \frac{50400}{9} = 5600
\)
La moyenne des revenus mensuels de cette entreprise est donc 5 600 euros.
Conclusion
Voilà, tu sais maintenant parfaitement comment calculer une médiane ! Tu es désormais capable de donner la définition d’une médiane, sa différence avec la moyenne et surtout d’en faire le calcul dans différentes situations. Tu t’es même entraîné avec plusieurs exercices de niveaux différents. J’espère que cet article t’a plu. Tu peux retrouver ici toutes nos autres ressources mathématiques et lire ce super article sur les techniques de conversion des unités de longueur !
