Dans cet article, tu vas apprendre comment dériver des fonctions composées
Pour rappel composition de fonctions est une opération mathématique qui consiste à remplacer la variable souvent appelée \(x\) de la première fonction appelée souvent \(f\) par l’expression représentant de la seconde fonction souvent appelée \(g\).
De fait, au lieu d’avoir « \(f (x)\) », on va avoir « \(f ((g (x) )\) ». On utilisera parfois la notation « rond » : o pour désigner la composition de deux fonctions.
Donc on peut écrire la chose suivante :
\(\forall x \in \mathbb R, (f \circ g) (x) = f ((g (x) )\)
N’hésite pas à aller checker notre précédent article sur la dérivation : Tout savoir sur la dérivation (spécialité mathématiques)
Dérivation des fonctions composées
Soit deux fonctions \(h\) et \(u\) dérivables.
Le tableau ci-dessous montre les dérivées de fonctions \(f\) construites à partir de \(u\) ou de \(h\).
Le nombre \(n\) est un nombre rationnel (i.e. il s’agit du quotient de deux entiers).
Remarque
\({u(x)}\) peut aussi s’écrire sous la forme [\(u(x)\)]\(^{\frac{1}{2}}\).
On peut donc utiliser la seconde formule, avec \(n=\frac{1}{2}\).
Exemple
Si \(n=-1\), et si \(\forall x \in \mathbb R, f(x)=(u(x))^n\) ; alors \(\forall x \in \mathbb R, f« (x)=(-1) \: u »(x) \: (u(x))^{-2}\).
On a donc bien \(\forall x \in \mathbb R, f« (x)=-\frac{u »(x)}{(u(x))^2}\).
Ainsi, la dérivée de \(\frac{1}{u}\) est \(-\frac{u’}{u^2}\).
Dérivation des fonctions trigonométriques composées
- Si \(h\) (du tableau ci-dessus) est la fonction sinus, alors :
\(\forall x \in \mathbb R, f(x)=sin(ax+b)\Rightarrow f« (x)=a\:sin »(ax+b)\)
\(\: \: \:\:\:\:\:\:\: \:\:\: \: \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow f'(x)=a \: cos(ax+b)\)
- De même : \(f(x)=cos(ax+b)\Rightarrow f'(x)=-a\: sin(ax+b)\).
Remarque
On obtient des résultats similaires avec les fonctions logarithmes et exponentielles.
Lire aussi : Tout savoir sur la fonction logarithme et Tout savoir sur la fonction exponentielle
