Lever une forme indéterminée à l’aide du taux d’accroissement

Dans cet article, nous verrons comment lever une forme indéterminée à l’aide du taux d’accroissement. Si tu es en terminale et tu souhaites (enfin) comprendre comment aborder les exercices avec cette méthode bien spécifique, alors cet article est fait pour toi. C’est également des questions classiques dans l’enseignement supérieur, alors si tu souhaites continuer les mathématiques après le baccalauréat, cela te permettra d’aborder cette matière avec plus de sérénité.

Dans cet article nous voulons étudier certaines limites qui ont des formes indéterminées comme celles-ci :
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}, \quad \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}, \ldots
\]

Rappel :

Pour étudier la dérivabilité de \( f \) en \( a \), il faut étudier la limite du taux d’accroissement de \( f \). Autrement dit :
\[
\lim_{x \to a} \frac{f(x) – f(a)}{x-a}=f'(a).
\] Si la limite existe et est finie alors \( f \) est dérivable en \( a \).
En posant : \( x=a+h \) :
\[
\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a),
\] on obtient une définition équivalente.

Voici la méthode à suivre

1. Il faut premièrement déterminer la fonction \( f \) et justifier qu’elle est dérivable en \( a \).
2. Ensuite, il faut déterminer la dérivée de \( f \) en \( a \).
3. Enfin, il est facile de déterminer :
   \[
   \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a).
   \]

Exemple d’application détaillé

À l’aide de la méthode ci-dessus, étudions : \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} \).

1. \( f \) est la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f:x\to e^x \).

2. La fonction exponentielle est dérivable sur \( \mathbb{R} \) donc en 0.

3. Ainsi \( \forall x \in \mathbb{R} \), \( f'(x)=e^x \) ainsi \( f'(0)=1 \).

Finalement, posons : \( a=0 \).

Ainsi :
\[
\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x \to 0} \frac{e^x-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^0}{x-0}=\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}=f'(1)= e^0=1.
\]

À toi de jouer 

Exercice d’application n°1 

Étudier les limites ci-dessous à l’aide de la définition de la dérivabilité en un point.

• \( \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1}=1 \)
• \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}=1 \)

1. \( f \) est la fonction définie sur \( ]0,+\infty[ \) par \( f:x\to \ln(x) \).

2. La fonction logarithme est dérivable sur \( ]0;+\infty[ \) donc en 1, ainsi :
\(\forall x \in ]0;+\infty[,f'(x)=\frac{1}{x} \) donc \( f'(1)=1 \).

3.

• Étudions \( \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1}=1 \)

Posons : \( a=1 \), ainsi
\[
\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1}=\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1}=f'(1)=1.
\]

• Pour étudier \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}=1 \) tu peux utiliser l’autre définition \[
  \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)-\ln(1)}{h}=f'(1)=1.
  \]

Exercice d’application n°2 

Déterminer \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2x+1}-1}{x} \) et \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)-1}{x} \)

• Soit \( f \) une fonction définie sur \( [-1/2,+\infty[ \) ; \( f :x\to \sqrt{2x+1} \).

\( f \) est dérivable sur \( ]-1/2;+\infty[ \) et \( \forall x \in ]-1/2;+\infty[, f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}} \).

\[
\lim_{x \to 0} \frac{f(0+x)-f(0)}{x}=\frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{0\times2+1}}{x}=\frac{\sqrt{2x+1}-1}{x}=\frac{1}{\sqrt{2\times0+1}}=1.
\]

• Soit \( f \) une fonction définie sur \( \mathbb{R} \) ; \( f:x\to \cos(x) \).

\( f \) est dérivable sur \( \mathbb{R} \) et \( \forall x \in \mathbb{R} \), \( f'(x)=-\sin(x) \).

\[
\lim_{x \to 0} \frac{f(0+x)-f(0)}{x}=\frac{\cos(x)-1}{x}=-\sin(0)=0.
\]