Dans cet article, nous allons travailler ensemble sur une notion fondamentale en mathématiques : la factorielle ! Tu vas retrouver cette notion dans de nombreux concepts et théorèmes mathématiques, il est donc primordial de la comprendre et de savoir l’utiliser. Cet article est justement là pour te permettre de maîtriser toutes les propriétés de la factorielle d’un nombre. Tu pourras même t’entraîner avec deux exercices corrigés en fin de cet article !
Qu’est-ce que la factorielle d’un nombre ?
La factorielle d’un entier naturel \( n \) est égal au produit de tous les nombres entiers inférieurs ou égaux à cet entier \( n \) et strictement supérieurs à 0. Ainsi, on a :
\[ \text{Pour } n \geq 2, \quad n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1 \]
On peut ajouter que \( 1! = 1 \text{ et } 0! = 1 \) par convention.
Essayons de mieux comprendre avec quelques exemples, si on cherche la factorielle de 2, 3 et 5 on a :
- \( 2! = 2 \times 1 = 2 \)
- \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
- \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
Tu as besoin d’un petit coup de pouce sur les racines carrées ou sur la fonction valeur absolue ? Jette un coup d’œil à nos articles sur tout ce qu’il faut savoir sur les racines carrées ou sur tout ce qu’il faut connaître sur la valeur absolue.
Les propriétés de la factorielle d’un nombre
Valeur de 0
Tu l’as compris, la factorielle de zéro n’est pas zéro ! En effet, la première propriété de la factorielle est que \( 0! = 1 \). Mais, cette propriété est en réalité davantage une convention, mais il est important de ne pas te tromper dans tes divers exercices. Attention à ne pas faire d’erreur de rédaction dans ton ordination, surtout dans les matières scientifiques !
Plus le nombre augmente, plus la factorielle augmente !
Il est important de souligner la croissance rapide de la factorielle en fonction du nombre \( n \) choisi. En effet, si on prend la factorielle d’un nombre \( n \) et qu’on observe ensuite la factorielle de \( n + 3 \), on va constater que la valeur va être rapidement très importante.
Par exemple, si on prend la factorielle de 4, on a \( \displaystyle 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \), et si on prend la factorielle de 7, on a \( \displaystyle 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \).
De même, la factorielle de 10 est déjà égale à \( \displaystyle 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3\,628\,800 \).
Relation de récurrence dans la factorielle
Comme tu le sais, une relation de récurrence désigne une relation dans laquelle une propriété est vraie pour tous les entiers naturels. Or, il y a une relation de récurrence très importante pour la factorielle, qui sera d’ailleurs très utile dans tes exercices. On a pour tout entier naturel \( n \in \mathbb{N} \) :
\[ \displaystyle \text{Pour } n \geq 1 \] \[ n! = n \times (n-1)! \]
Voici quelques exemples pour illustrer cette relation, mais on va la démontrer dans l’un des exercices.
- \( 4! = 4 \times 3! = 4 \times (3 \times 2 \times 1) = 24 \)
- \( 7! = 7 \times 6! = 7 \times (6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) = 5040 \)
Quand utiliser la factorielle d’un nombre ?
Au-delà des calculs de factorielle d’un nombre que tu devras faire dans tes différents exercices mathématiques. On retrouve la factorielle d’un nombre dans de nombreux théorèmes et formules en mathématiques.
Tout d’abord, on peut retrouver cette notion dans le dénombrement. Ainsi, les formules de combinaisons et de permutations incluent la factorielle. On a donc :
- La formule de permutation d’un nombre \( n \) est \( \displaystyle P_n = n! \)
- La formule de la combinaison d’un nombre, autrement dit le nombre de façons de choisir \( k \) éléments parmi \( n \), est :
\[ \displaystyle C_n^k = \frac{n!}{k! \, (n-k)!} \]
Plus généralement, quand tu calcules le coefficient binomial d’un nombre, tu dois utiliser la factorielle, car le calcul du coefficient binomial est donné par :
\( \displaystyle \frac{n!}{k! \, (n-k)!}, \quad \text{où } n \geq k \geq 0. \)
Mais on retrouve aussi la factorielle dans la série exponentielle, que tu apprendras en Terminale et retrouveras en post-bac puisqu’on a :
\( \displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \)
Enfin, dans le langage python, tu peux aussi utiliser la factorielle d’un nombre. Pour rappel, le langage python est un langage informatique de programmation. Tu peux d’ailleurs t’entraîner à écrire en python sur divers sites tels que mycompilateur. Ainsi, en python dans la bibliothèque math on peut utiliser la fonction factorial pour calculer directement la factorielle d’un nombre.
Exercices d’entraînements sur la factorielle d’un nombre
Exercice 1 : Calculs de factorielle de nombres
Calcule \( 5! \), \( 6! \text{ et } 9! \). Trouve le résultat de la division \( \frac{7!}{5!} \)
Exercice 2 : Démonstration de la relation de récurrence de la factorielle d’un nombre
Montre par récurrence que \[ \displaystyle \text{Pour } n \geq 1 \] \[ n! = n \times (n-1)! \]
Correction des exercices
Corrigé exercice 1
On a pour le calcul des valeurs demandées, les résultats suivants:
- \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
- \( 6! = 6 \times 5! = 6 \times 120 = 720 \)
- \( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6! = 9 \times 8 \times 7 \times 720 = 362880 \)
Pour le calcul de la division \( \frac{7!}{5!} \):
On rappelle d’abord les valeurs des factorielles de 5 et 7, qui sont :
- \( 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)
- \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1. \)
On les ajoute à notre division et on trouve:
\[ \frac{7!}{5!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}. \]
En simplifiant les termes communs, on trouve:
\[ \frac{7!}{5!} = 7 \times 6 = 42 \]
Corrigé exercice 2
On commence par l’Initialisation, on a pour \( n = 1 \) \( 1! = 1\). Or \( 1! = 1 \times 0! = 1 \) puisque \( 0! \) est égal à \( 1 \). La propriété est donc vérifiée pour \( n = 1 \)
Hérédité: Supposons que la relation est vraie pour un certain \( k \geq 1 \) tel que :
\[ k! = k \times (k-1)! \]
Montrons alors qu’elle est vraie pour \( k + 1 \) tel que :
\[ (k+1)! = (k+1) \times k! \]
Or, \[ (k+1)! = (k+1) \times k \times (k-1) \times (k-2) \times \dots \times 1 \] Cela revient à écrire : \[ (k+1)! = (k+1) \times k \times (k-1) \times (k-2) \times \dots \times 1 \]
Or, si on revient à la définition même de la factorielle, on a :
\[ k! = k \times (k-1) \times (k-2) \times \dots \times 1 \]
Ainsi d’après l’hypothèse de récurrence, on remplace avec la valeur de \( k! \) dans le calcul et on a donc \( (k+1)! = (k+1) k \times (k-1)! \) ce qui correspond bien à
\[ (k+1)! = (k+1) \times k! \]
On a donc bien démontré par récurrence que \( \displaystyle \text{pour tout} n \geq 1 \) \( n! = n \times (n-1)! \)
Conclusion
Voilà, tu connais maintenant tout sur la factorielle ! Tu es désormais capable de donner sa définition ainsi que ses propriétés et ses différentes applications ! J’espère que cet article t’a plu. Tu peux retrouver ici toutes nos autres ressources mathématiques et lire cet article sur les techniques de conversion des unités de longueur !
