Calculer une puissance en passant par la forme exponentielle

Savoir quand et comment utiliser la forme exponentielle

À lire dans cet article :

Aujourd’hui on aborde une question classique sur les nombres complexes, qui nécessite de bien maîtriser la forme exponentielle. Pour rappel une fiche résumant les points primordiaux de maths est disponible ici . N’hésites pas à la relire avant de commencer cet exercice.

L’exercice sur la forme exponentielle d’un nombre complexe (bac S 2019)

Le but est de répondre à cette question de l’exercice 3 du bac S 2019, il faut dire si l’affirmation suivante est vraie ou fausse.

On considère \(u = \sqrt{3} + i\).

Alors \(u^{2019}+\overline{u}^{2019}=2^{2019}\)?

C’est un type de question assez classique où l’énoncé nous donne un complexe sous forme algébrique, ici \(u = \sqrt{3} + i\). On nous demande de calculer une puissance très élevée, 2019, il est donc absolument IMPOSSIBLE d’utiliser la forme donnée par l’énoncé pour faire le calcul.

En effet, Il ne faut jamais utiliser la forme algébrique pour calculer des puissances ! Quand vous lisez cette question, vous devez immédiatement penser à la forme exponentielle.

Pour rappel, un nombre complexe peut s’écrire de 3 façons différentes :

  • Algébrique \(z = a +ib\)
  • Trigonométrique \(z = \rho (cos \theta + i sin \theta)\)
  • Exponentielle \(z = \rho e ^{i \theta}\)

Pour cette question on va donc écrire u sous forme exponentielle. On commence par calculer le module.

Pour rappel \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)

On a alors \(|u| = \sqrt{\sqrt{3}^2 + 1^2}= \sqrt{4} = 2\)

De plus on a \(\cos (\theta)= \frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\sin(\theta)=\frac12\) Donc \(\theta = \frac{\pi}{6}\)

On peut donc écrire \(u = 2e^{i \frac{\pi}{6}}\).

Or \(\frac{2019}{6} = 336,5\).
On en déduit que

$$\begin{array}
u^{2019}& = 2^{2019}\mathrm{e}^{i \frac{2019 \pi}{6}}\\
& = 2^{2019}\mathrm{e}^{i 336 \pi+\frac{i \pi}{2}}\\
& = 2^{2019}\mathrm{e}^{i 336 \pi}*\mathrm{e}^{i \frac{\pi}\\{2}}\\
&=i\\
\end{array}$$

Pour simplifier le calcul on a utilisé le fait que \(\mathrm{e}^{i 336 \pi}\) revient à faire 168 fois le tour complet du cercle trigonométrique et vaut donc 1.

\(\mathrm{e}^{i \frac{\pi}{2}}\) lui vaut i, il suffit de tracer un cercle trigonométrique.

déterminer l'ensemble des points m d'affixe z argument

De même \(\overline{u}^{2019} = 2^{2019}\mathrm{e}^{-i \frac{2019 \pi}{6}}=2^{2019} \mathrm{e}^{-i \frac{\pi}{2}}=-i \times 2^{2019}\).

Alors \(u^{2019}+\overline{u}^{2019}=2^{2019} \mathrm{e}^{i \frac{2019 \pi}{6}}+2^{2019} \mathrm{e}^{-i \frac{2019 \pi}{6}}=2^{2019}(i-i)\).

On conclut donc que \(u^{2019}+\overline{u}^{2019}=0\).

L’affirmation de l’énoncé est donc fausse !

Le corrigé complet du bac S 2019 de maths est disponible ici.

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