Kit de survie – Les probabilités conditionnelles

Maintenant que vous maîtrisez les bases sur les probabilités discrètes grâce au kit de survie disponible ici, nous allons pouvoir passer aux probabilités conditionnelles ! Mais qu’est ce que c’est au juste qu’une probabilité conditionnelle? Ce sont simplement des probabilités qui concernent des événements liés. On cherche à calculer la probabilité d’un événement B sachant qu’un événement A s’est produit. Par exemple : quelle est la probabilité qu’une pièce soit défectueuse sachant qu’elle a été produite par l’usine Y. Ce qu’il faut savoir/connaître :

• la définition des probabilités conditionnelles
• les propriétés de calcul
• la formule des probabilités totales
• savoir dessiner un arbre de probabilité et l’utiliser
• la notion d’événements indépendants

Définition et notations des probabilités conditionnelles

Considérons un événement A, de probabilité non nulle. On appelle probabilité conditionnelle sachant A, et on note \(p_A\), la fonction qui à tout événement B associe la probabilité : $$ p_A(B) = \frac{p(A\cap B)}{p(A)}$$. Il arrive parfois que \(p_A(B)\) soit noté \(p(B|A)\). Par exemple, on peut considérer :

• l’événement A : la personne est vaccinée contre la grippe
• l’événement B : une personne a la grippe.

\(p_A(B)\) correspond donc à la probabilité que la personne soit malade sachant qu’elle a été vaccinée contre la grippe.

Propriété des probabilités conditionnelles

Une probabilité conditionnelle \(p_A\) reste une probabilité. Elle a donc toutes les propriétés usuelles d’une probabilité. Quel que soit l’événement B : \(p_A(B) \in [0,1]\) \(p_A(\overline{B}) = 1 – p_A(B)\) Si l’événement C inclut l’événement B, \(B \in C\) alors \(p_A(B) \leq p_A(C)\). Si les événements B et C ont une intersection nulle, on a \(p_A(B \cup C) = p_A(B)+p_A(C)\). En reprenant la formule de la définition d’une probabilité conditionnelle \(p_A(B) = \frac{p(A\cap B)}{p(A)}\), on peut écrire :

• \(p(A \cap B) = p(A) \times p_A(B)\)
• \(p(A \cap B) = p(B) \times p_B(A)\)

La formule des probabilités totales

Considérons un univers \(\Omega\). Une partition de cet univers correspond à une série d’événements \(A_1,\) \(A_2,\), …, \(A_n,\) qui vérifie :

• les événements sont 2 à 2 incompatibles, \(A_i \cap A_j = \emptyset\)
• la réunion de tous les événements est égale à \(\Omega\) tout entier

On dit que \((A_1, A_2, …,A_n)\) forme un système complet d’événements. \((A, \overline{A})\) est un système complet à 2 événements. La formule des probabilités totales permet d’écrire pour tout système complet d’événements \((A_1, A_2, …,A_n)\) : $$ p(B) = \sum_{i=1}^n p(A_i)\times p_{A_i}(B)$$ Reprenons les événements A et B définis précédemment :

• l’événement A : la personne est vaccinée contre la grippe
• l’événement B : une personne a la grippe.

Puisque \((A, \overline{A})\) est un système complet à 2 événements, on peut appliquer la formule des probabilités totales : $$ p(B) = p(A)\times p_{A}(B)+ p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}(B)$$

Les arbres de probabilités

Pour appliquer la formule des probabilités totales où pour calculer une probabilité conditionnelle, il est souvent plus simple de faire un arbre de probabilité. Il s’agit d’un dessin qui représente l’expérience en cours. Chaque branche de l’arbre correspond à une issue possible. Pour calculer la probabilité de l’extrémité d’une branche, il suffit de multiplier les probabilités présentes sur la branche.  

Prenons par exemple \(p(A) = 0.3\), et \(p_A(B)=0.05\). Quelle est la probabilité qu’une personne soit vaccinée et malade? La personne est vacinnée, on se situe donc sur la première branche de l’arbre, celle qui mène à A. De plus, on sait qu’elle est malade. On se situe donc sur la branche qui passe par A et B. La probabilité recherchée est le produit des probabilités présentes sur la branche. \(P(A \cap B) = P(A) \times p_A(B) = 0.3 \times 0.05 = 0.15\). On retrouve la formule énoncée précédemment.

Evénements indépendants

Soient 2 événements A et B, on dit qu’ils sont indépendants si et seulement si \(P(A \cap B) = p(A) \times p(B)\). Si \(p(A) \neq 0\), cela revient à dire qu’ils sont indépendants si et seulement si \(p_A(B) = p(B)\). Dans ce cas, l’événement A ne conditionne pas l’événement B. C’est le cas lors d’un lancer d’une pièce, l’événement A obtenir pile au premier tirage ne conditionne pas l’événement B obtenir face au second tirage. Les 2 tirages sont indépendants. De ce fait, lors d’une série de lancer de dé, de pièce, ou le tirage avec remise de cartes, on admet souvent l’indépendance. Dans les autres cas, il faut la démontrer. Pour cela on calcule séparément \(P(A \cap B)\) et \(p(A) \times p(B)\), et on montre qu’il y a égalité. Enfin, si 2 événements \(A\) et \(B\) sont indépendants alors \(A\) et \(\overline{B}\), \(\overline{A}\) et \(B\), \(\overline{A}\) et \(\overline{B}\)sont également indépendants. Apprenez bien ces formules par coeur ! Entraînez vous avec des exercices et n’hésitez pas à consulter nos autres fiches d’aide pour le BAC. Pour pouvez également vous entraîner sur des annales de bac le corrigé du bac de maths S 2018 disponible ici . Le sujet de 2019 est disponible avec son corrigé ici.