Aujourd’hui, nous allons travailler ensemble sur une notion fondamentale en géométrie : le théorème de Thalès ! Tu vas retrouver cette notion dans de nombreux concepts mathématiques, il est donc primordial de la comprendre et de savoir l’utiliser. Cet article est justement là pour te permettre de maîtriser toutes les propriétés et applications autour du théorème de Thalès. Tu pourras même t’entraîner avec deux exercices corrigés à la fin de cet article !
Qu’est-ce que le théorème de Thalès ?
Le théorème de Thalès est un outil très puissant en géométrie et en trigonométrie qui va te permettre de résoudre de nombreux problèmes mathématiques. Le théorème de Thalès met en place une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés de deux triangles, dont l’un des triangles (le plus petit) est inclus dans le plus grand.
Autrement dit, grâce au théorème de Thalès, on va pouvoir déterminer des longueurs qui nous manquent dans un triangle à partir des autres longueurs de ces deux triangles.
Pour mieux comprendre ce théorème de Thalès, il faut le visualiser ! Dans le théorème de Thalès, on prend deux droites sécantes en un point \( A \) et deux droites parallèles. Les deux droites parallèles coupent alors les droites sécantes respectivement en \( D \) et \( E \) pour l’une, en \( B \) et en \( C \) pour l’autre.
Autrement dit, on a deux triangles \( ABC \) et \( ADE \) tels que les deux droites \( (BC) \) et \( (DE) \) sont parallèles. Voici la représentation des différentes informations et des deux triangles :
Graphique généré avec GeoGebra
Attention à ne pas faire d’erreur de rédaction dans tes calculs, surtout dans les matières scientifiques !
Énoncé du théorème de Thalès
Le théorème de Thalès montre alors qu’il y a une relation de proportionnalité entre les différentes longueurs de ce triangle. C’est l’application la plus courante du théorème de Thalès. Voici l’énoncé précis de ce théorème que tu pourras utiliser dans tes copies (en l’adaptant aux données et lettres choisies dans tes énoncés):
Soit un triangle ABC et un triangle ADE tels que le point D appartienne à la droite \( (AB) \) et le point E à la droite \( (AC) \).
Alors si les droites \( (DE) \) et \( (BC) \) sont parallèles, on a :
\[ \displaystyle \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \]
En fonction des longueurs que tu connais sur ce triangle, tu vas donc pouvoir identifier les autres longueurs. Cette notion du théorème est au coeur du programme de spécialité mathématiques ! De même que sa réciproque…
La réciproque du théorème de Thalès
Si les points A,D,B et les points A,E,C sont alignés dans le même ordre et si on a l’égalité suivante des longueurs :
\[ \displaystyle \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \]
Alors les droites \( (DE) \) et \( (BC) \) sont parallèles.
Cette réciproque est importante car elle te permet de montrer que les droites sont parallèles mais aussi de montrer que les droites ne sont pas parallèles lorsque toutes les conditions ne sont pas remplies. Cette seconde application du théorème de Thalès te sera donc très utile dans tes différents exercices de mathématiques.
Tu as besoin d’un petit coup de pouce en mathématiques sur les racines carrées ou sur la fonction valeur absolue ? Jette un coup d’œil à nos articles sur tout ce qu’il faut savoir sur les racines carrées ou sur tout ce qu’il faut connaître sur la suite de Fibonacci et le nombre d’or.
Les autres applications du théorème de Thalès
On trouve de nombreux autres applications du théorème de Thalès mais dans tes exercices tu trouveras le plus souvent les deux applications suivantes.
La mesure d’une hauteur inconnue
Comme tu l’as compris le théorème de Thalès te permet de connaître des longueurs, il peut donc te permettre de connaître des hauteurs inconnues dans des problèmes mathématiques. Un exemple de problème récurrent est notamment celui de la mesure de la hauteur d’un arbre.
En effet, tu peux utiliser un bâton et leurs ombres respectives pour connaître cette hauteur. En plantant un bâton verticalement dans le sol, tu mesures alors la longueur de son ombre et celle de l’ombre de l’arbre. Retiens cette méthode qui te sera très utile si tu tombes sur ce type de problème mathématique.
La cartographie et le théorème de Thalès
Le théorème de Thalès est souvent utilisé en cartographie pour passer d’une échelle à une autre. En effet, dans le théorème de Thalès les deux triangles (le triangle inclus dans le grand triangle) sont semblables, autrement dit on va pouvoir mesurer des grandes longueurs pour ensuite passer à des plus petites équivalentes. On dit qu’on passe d’une échelle à un autre, ce qui va permettre de créer des cartes à différentes échelles.
Tu pourras aussi retrouver des problèmes ou exercices mathématiques sur ce thème, ou bien sur celui de l’architecture qui utilise la même méthode de réduction ou agrandissement des longueurs à partir du théorème de Thalès.
Exercices d’entraînement sur le théorème de Thalès
Exercice 1
Soit un triangle ABC et un triangle ADE tels que le point D appartienne à la droite \( (AB) \) et le point E à la droite \( (AC) \). Les droites \( (DE) \) et \( (BC) \) sont parallèles et on connaît les longueurs suivantes :
- AD = 4 cm
- AB = 6 cm
- AE = 5 cm
- BC = 7 cm
Calcule la longueur DE. Tu donneras ta réponse en centimètres et en mètres.
Exercice 2
Thomas trace un triangle ABC sur une feuille blanche. Il place un point M sur la droite \( (AB) \) tel que le point M soit distinct des points A et B, et un autre point N sur la droite \( (AC) \) tel que le point N soit distinct des points A et B. Il connaît les longueurs suivantes :
- AM = 3 cm
- AB = 5 cm
- AN= 4,5 cm
- AC = 7,5 cm
Thomas affirme que les droites \( (DE) \) et \( (BC) \) ne sont pas parallèles. A-t-il raison ?
Corrigés des exercices sur le théorème de Thalès
Corrigé de l’exercice 1
Les points A,D,B et les points A,E,C sont alignés dans le même ordre. Alors, d’après le théorème de Thalès, comme les droites \( (DE) \) et \( (BC) \) sont parallèles, on a donc :
THÉORÈME DE THALÈS
\[ \displaystyle \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \]
Or on connaît certaines longueurs de ces deux triangles qu’on remplace alors dans l’égalité précédente. Ici, on ne va pas utiliser la longueur AC car on ne la connaît pas, on utilise alors simplement l’égalité \( \displaystyle \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \).On a donc :
\[ \displaystyle \frac{4}{6} = \frac{DE}{7} \]
Autrement dit, \[ \displaystyle DE = \frac{2 \times 7}{3} = \frac{14}{3} \ \text{cm} \approx 4.67 \ \text{cm} \]
La longueur de DE est donc d’environ 4,67 cm, soit 0,0467 mètres.
Corrigé de l’exercice 2
Pour montrer que les droites sont parallèles ou non, on va utiliser ici la réciproque du théorème de Thalès.
On commence par calculer la valeur des quotients suivants (\dfrac{AM}{AB}) et (\dfrac{AN}{AC}). Or on a :
- \( \displaystyle \frac{AM}{AB} = \frac{3}{5} \)
- \( \displaystyle \frac{AN}{AC} = \frac{4.5}{7.5} = \frac{3}{5} \)
On a donc bien, \[ \displaystyle \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \]
Or, comme les points A,M, B et les points A,N, C sont alignés dans le même ordre et que \( \displaystyle \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \), d’après la réciproque du théorème de Thalès, on peut donc en conclure que les droites \( (DE) \) et \( (BC) \) sont parallèles.
On en déduit donc que Thomas avait tort. (attention, il ne faut surtout pas oublier de bien répondre à la question qu’on te pose dans l’énoncé).
Ce que tu dois retenir sur le théorème de Thalès
Voilà, tu connais maintenant tout sur le théorème de Thalès et ses différentes applications ! Tu es désormais capable d’énoncer sa définition ainsi que ses différentes propriétés. Tu t’es même entraîné avec deux exercices sur cette notion fondamentale ! J’espère que cet article t’a plu. Tu peux retrouver ici toutes nos autres ressources mathématiques et lire cet article sur les techniques de conversion des unités de longueur !
