Aujourd’hui, dans le cadre du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, on te propose de revoir une méthode de maths essentielle. Objectif, principe, étapes à suivre : tout est détaillé, et un exemple corrigé vient conclure l’article pour t’exercer.
Présentation de la méthode
Comment calculer l’espérance et la variance de la loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\) ?
Pour faire face à une telle situation, nous allons apprendre aujourd’hui la méthode suivante : En décomposant \(X = X_1 + \cdots + X_n\) (variables de Bernoulli indépendantes de même loi), puis en appliquant \(E(X) = np\) par linéarité et \(V(X) = np(1-p)\) par additivité
L’objectif est de calculer l’espérance et la variance d’une variable \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\) en utilisant les formules \(E(X) = np\) et \(V(X) = np(1-p)\).
Pour cela, le principe est que si \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\), on décompose \(X = X_1 + \cdots + X_n\) avec \(X_i \sim \mathcal{B}(1, p)\) i.i.d. : la linéarité donne \(E(X) = nE(X_i) = np\), et l’additivité donne \(V(X) = nV(X_i) = np(1-p)\).
Que ferais-tu par exemple face à cet exercice ?
Soit \(X \sim \mathcal{B}(10; 0{,}3)\). Calculer \(E(X)\), \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).
Le détail de la méthode par étape
- Identifier les paramètres \(n\) (nombre d’épreuves) et \(p\) (probabilité de succès) de la loi binomiale \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\).
- Rappeler la décomposition \(X = X_1 + \cdots + X_n\) où les \(X_i \sim \mathcal{B}(1, p)\) sont indépendantes, avec \(E(X_i) = p\) et \(V(X_i) = p(1-p)\).
- Appliquer la linéarité de l’espérance : \(E(X) = \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = np\).
- Appliquer l’additivité de la variance (variables indépendantes) : \(V(X) = \sum_{i=1}^{n} V(X_i) = np(1-p)\). En déduire l’écart-type \(\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}\).
À toi de jouer sur cet exercice !
Soit \(X \sim \mathcal{B}(10; 0{,}3)\). Calculer \(E(X)\), \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).
Voir la correction
\(n = 10\) et \(p = 0{,}3\), donc \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(10\) et \(0{,}3\).
\(X = X_1 + \cdots + X_{10}\) avec \(X_i \sim \mathcal{B}(1; 0{,}3)\) i.i.d., \(E(X_i) = 0{,}3\), \(V(X_i) = 0{,}3 \times 0{,}7 = 0{,}21\).
\(E(X) = 10 \times 0{,}3 = 3\).
\(V(X) = 10 \times 0{,}21 = 2{,}1\) et \(\sigma(X) = \sqrt{2{,}1} \approx 1{,}45\).
\(E(X) = 3\), \(V(X) = 2{,}1\), \(\sigma(X) = \sqrt{2{,}1} \approx 1{,}45\).
👉 Voir les exercices suivants sur metmat.fr
Retiens la logique d’ensemble plutôt que chaque ligne de calcul : une fois le raisonnement compris, les calculs suivent naturellement.
Cet article fait partie du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, le site pour cartonner en maths en appliquant la méthode de travail des excellents élèves.
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