Dans cet article, nous nous intéressons à la position relative de droites et de plans dans l’espace.
N’hésite pas à consulter également le programme de spécialité mathématiques de terminale pour plus de précisions.
Positions relatives de deux droites dans l’espace
Dans l’espace, deux droites peuvent être :
- Coplanaires : elles sont alors parallèles, sécantes ou confondues ;
- Non coplanaires : elles n’ont alors aucun point en commun
Attention
Si, dans l’espace, deux droites n’ont aucun point en commun (c’est-à-dire si 2 droites sont non coplanaires) elles ne sont pas forcément parallèles.
Exemple :
Ici, les droites \(d\) et \(d’\) n’ont aucun point en commun et ne sont pas parallèles pour autant !
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Positions relatives d’une droite et d’un plan
Il existe plusieurs cas de figures. Soit :
- La droite et le plan peuvent n’ont aucun point en commun. Alors, ils sont parallèles ;
- La droite et le plan ont un seul point en commun. Dans ce cas, la droite perce le plan ;
- La droite et le plan ont une infinité de points en commun. La droite appartient alors au plan.
Positions relatives de trois plans
Considérons \(3\) plans \(P\), \(Q\) et \(R\).
- Si \(P\) et \(Q\) sont parallèles, alors \(P\) et \(R\) peuvent être soit parallèles, soit sécants. Dans ces deux cas, il n’existe aucun point commun aux trois plans.
- Si \(P\) et \(Q\) sont sécants selon une droite \(D\), alors :
- Si \(D\) est parallèle à \(R\), il n’existe aucun point commun aux trois plans
- Si \(D\) perce \(R\) en \(A\), alors les trois plans ont un point commun unique
- Si \(D\) est incluse dans \(R\), alors les trois plans ont une infinité de points en commun, et ces points sont ceux de la droite \(D\)
Théorème du toit
Soit \(P\) et \(P’\) deux plans sécants selon une droite \(\Delta\). Si une droite \(D\) de \(P\) est parallèle à une droite \(D’\) de \(P’\), alors \(\Delta\) est parallèle à \(D\) et \(D’\).
Orthogonalité de droites et de plans
- Dire qu’une droite \(D\) est orthogonale à une droite \(\Delta\) signifie qu’il existe une droite \(\Delta’\) parallèle à \(\Delta\) et qui est perpendiculaire à \(D\) (et donc \(\Delta\) et \(\Delta’\) sont coplanaires).
- Dire qu’une droite est orthogonale à un plan signifie qu’elle est orthogonale à toute droite du plan.
Remarque :
De plus, si \(D\) et \(D’\) sont sécantes, alors elles sont perpendiculaires.
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Théorème
Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
