Comme chaque année, l’exercice de spé maths porte sur les matrices et l’arithmétique. En même temps, ce sont les deux grandes notions de la spécialité. Au bac, la spécialité c’est un exercice différent qui souvent vaut 5 points. Au début, ces exercices semblent un peu compliqués, mais c’est presque TOUJOURS la même chose donc fais en 3 ou 4 et tu verras, tu deviendras un vrai pro. Nous ne proposons ici pour t’entraîner une correction de l’exercice spécialité maths 2017.
Le sujet du bac de maths 2017 est disponible ici : Sujet 2017 bac S spé maths
Le reste du sujet est corrigé ici.
Correction de l’exercice spécialité maths (terminale S)
On appelle ” triangle rectangle presque isocèle “, en abrégé TRPI, un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont pour longueurs x et x+ 1, et dont l’hypoténuse a pour longueur y, où x et y sont des entiers naturels.
Ainsi, un TRPI est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de l’angle droit sont deux nombres entiers consécutifs et dont la longueur de l’hypoténuse est un nombre entier.
Partie A
Question 1
Un triangle rectangle presque isocèle est avant tout un triangle rectangle. Par conséquent, on peut appliquer le théorème de Pythagore qui nous donne que
$$y^2 = x^2 +(x+1)^2=x^2 + x^2 + 2x +1 = 2 x^2 + 2x+1$$
On obtient bien l’égalité demandée par l’énoncé.
Question 2
On nous demande de montrer que le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini par le couple (3 ; 5). Pour répondre à cette question, il faut tester les valeurs de x en commençant à 1 et en calculant y avec l’égalité de question précédente.
Si x=1, alors x+1=2 et \(y^2=5\) donc \(y=\sqrt{5}\) qui n’est pas entier donc ce n’est pas possible
Si x=2, alors x+1=3 et \(y^2=13\) donc \(y=\sqrt{13}\) qui n’est pas entier donc ce n’est pas possible
Si x=3, alors x+1=4 et \(y^2=25\) donc \(y=\sqrt{25}=5\)
Donc le le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini par le couple (3 ; 5).
Question 3a
Soit n un entier naturel.
On veut démontrer que si \(n^2\) est impair alors \(n\) est impair.
On raisonne par contraposée c’est à dire qu’on va montrer que si n est pair alors \(n^2\) l’est aussi.
Si \(n\) est pair alors il existe un entier k tel que \(n=2k\).
On a alors \(n^2=(2k)^2=4k^2=2*2*k^2\).
On en déduit donc que \(n^2\) est pair.
Ce qui nous prouve que si \(n^2\) est impair alors n est impair.
Question 3b
D’après la question 1 \(y^2 = 2 x^2 + 2x+1\). Or \(2x^2\) et \(2x\) sont nécessairement pairs. On en déduit que \(y^2\) est nécessairement impair. Puis en utilisant le résultat de la question 3a on en déduit que y est un nombre impair.
Question 4
On nous demande de montrer que si i le couple d’entiers naturels (x ; y) définit un TRPI, alors x et y sont premiers entre eux.
Astuce : pour montrer que deux nombres a et b sont premiers entre eux, on peut utiliser le théorème de Bezout qui nous dit que a et b sont premiers entre eux si et seulement il existe un couple d’entiers (u,v) tel que \(au+bv=1\).
Or d’après la question 1 on a \(y^2=2x^2+2x+1\).
donc \(y*y-2x(1+x)=1\), or \(y\) et \(2(1+x)\) sont des nombres entiers. Donc d’après le théorème de Bezout x et y sont premiers entre eux.
Partie B
On attaque les matrices ! Considérons la matrice A et B
$$A = \begin{pmatrix}
3 & 2\\
4 & 3
\end{pmatrix}$$
$$B= \begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}$$
Soient x et y deux entiers naturels, on définit x’ et y’ par
$$\left(\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)+B$$
Question 1
On a
$$\left(\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)+B=\left(\begin{array}{l}
3x+2y+1\\
4x+3y+2
\end{array}\right)$$
Question 2a
On veut montrer que $$y^{\prime 2}-2 x^{\prime}\left(x^{\prime}+1\right)=y^{2}-2 x(x+1)$$
$$y^{\prime 2}-2 x^{\prime}\left(x^{\prime}+1\right)=(4x+3y+2)^2-2(3x+2y+1)(3x+2y+1+1)$$.
Or
\(\begin{align}(4x+3y+2)^2 &=16x^2+12xy+8x+12xy+9y^2+6y+8x+6y+4\\&=16x^2+9y^2+24xy+16x+12y+4\\ \end{align}\)
et $$2(3x+2y+1)(3x+2y+1+1) = 18x^2+8y^2+24xy+18x+12y+4$$
Donc $$y^{\prime 2}-2 x^{\prime}\left(x^{\prime}+1\right) = y^2-2x^2+2x = y^2 -2x(1+x)$$
Question 2b
D’après la question 1 de la partie A, si \((x,y)\) définit un TRPI, alors \(y^2 = 2 x^2 + 2x+1\).
Donc \(y^2 – 2 x^2 – 2x=1\).
Ce qu’on peut réécrire \(y^2 – 2 x(1+x)=1\). Or \(y^{\prime 2}-2 x^{\prime}\left(x^{\prime}+1\right) = y^2-2x^2+2x = y^2 -2x(1+x)\).
Donc \(y’^2 – 2 x’^2 – 2x’=1\).
Donc \((x’;y’)\) est un TRPI.
Question 3
On définit les suites \((x_n)\) et \((y_n)\) par \(x_0=3\) et \(y_0=5\) et les relations de récurrences suivantes :
$$\left(\begin{array}{l}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{l}
x_{n} \\
y_{n}
\end{array}\right)+B$$
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, le couple \((x_n;y_n)\) définit un TRPI.
Initialisation : au rang 0 on a \((x_0;y_0)=(3;5)\), or d’après la question 2 de la partie A, ce couple définit un TRPI. Donc la proposition est vraie au rang 0.
Hérédité : soit n un entier naturel, supposons la proposition vraie au rang n.
$$\left(\begin{array}{l}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{l}
x_n \\
y_n
\end{array}\right)+B=\left(\begin{array}{l}
3x_n+2y_n+1\\
4x_n+3y_n+2
\end{array}\right)$$
Or d’après l’hypothèse de récurrence \((x_n;y_n)\) définit un TRPI et donc d’après la question précédente \((x_{n+1};y_{n+1})\) aussi.
Question 4
On cherche un TRPI dont les les longueurs des côtés sont supérieures à 2017.
Calculons les premiers termes des suites \((x_n)\) et \((y_n)\).
Au rang 0 : \((x_0;y_0)=(3,5)\)
Au rang 1 : \((x_1;y_1)=(20,29)\)
Au rang 2 : \((x_2;y_2)=(119,169)\)
Au rang 3 : \((x_3;y_3)=(696,985)\)
Au rang 4 : \((x_4;y_4)=(4059,5741)\)
Un triangle de coté 4059, 4060 et 5741 définit donc un TRPI avec des côtés de longueur supérieur à 2017.
Voilà qui conclut cette correction de l’exercice spécialité maths 2017 !
Le correction de l’exercice spécialité maths 2019 est disponible ici et celle de 2018 c’est par là.
