Autrefois au programme de spécialité en classe de terminale, les matrices font désormais parties du programme d’option de mathématiques expertes. Cependant, ces notions sont assez éloignées de ce que l’on voit en maths au lycée. Si tu choisis cette option, il faudra donc y consacrer un peu de temps et les travailler.
Les notions ne sont pas dures, il faut juste faire des exercices pour les manipuler et se les approprier. C’est pour ça que nous te proposons un corrigé très détaillé d’un exercice portant sur les matrices. Le sujet est disponible ici : Sujet bac maths 2019 spé maths et tu pourras trouver le corrigé des autres exercices est ici.
Retrouve ici une vidéo qui t’explique et définit les notions de base à savoir sur les matrices !
L’exercice sur les matrices, corrigé pas à pas
On s’intéresse aux matrices A de la forme
$$A = \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$$
qui vérifient \(ad-bc = 1\).
Partie A
Question 1
Soit la matrice
$$A = \begin{pmatrix}
6 & 5\\
-5 & -4
\end{pmatrix}$$
Alors \(6 \times -4 + 5 \times -5 = – 24 + 25 =1\). Donc la matrice A appartient bien à l’ensemble S.
Question 2
Soit A les matrices de la forme
$$A = \begin{pmatrix}
a & 2\\
3 & d
\end{pmatrix}$$
Les matrices A appartient à S si et seulement si \(ab – 6 = 1\). Donc \(ad=7\).
Comme 7 est un nombre premier il n’y a que 4 possibilités
$$A_1 = \begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 7
\end{pmatrix}$$
$$A_2 = \begin{pmatrix}
-1 & 2\\
3 & -7
\end{pmatrix}$$
$$A_3 = \begin{pmatrix}
-7 & 2\\
3 & -1
\end{pmatrix}$$
$$A_4 = \begin{pmatrix}
7 & 2\\
3 & 1
\end{pmatrix}$$
Question 3a
Cherchons à résoudre dans \(\mathbb{Z}\) l’équation \(5x-2y=1\). Une solution particulière est \((1;2)\).
On a donc
$$
\left\{\begin{array}{l}
5 x-2 y=1 \\
5 \times 1-2 \times 2=1
\end{array}\right.
$$
Par soustraction de la ligne 2 à la 1 et on obtient \(5(x-1) – 2(y-2) = 0\). Ce qu’on peut réécrire \(5(x-1) = 2(y-2)\). Donc 5 divise \(2(y-2)\). Or 5 et 2 sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss 5 divise donc \(y-2\).
On peut donc écrire \(5k=y-2\), avec k un entier relatif non nul.
Ainsi, on peut donc écrire que \(y=5k+2\).
Ensuite, on réinjecte alors cela dans l’équation de départ et on trouve : \(5(x-1) = 10k\).
Donc on en déduit que \(x = 2k+1\).
L’ensemble des solutions peut donc s’écrire \(\mathbb{S}= ((2k+1, 5k+2), k \in \mathbb{Z})\).
Question 3b
On considère les matrices A de la forme
$$A = \begin{pmatrix}
a & b\\
2 & 5
\end{pmatrix}$$
Les matrices A appartiennent à l’ensemble S si et seulement si \(5a – 2b = 1\). Ce qui revient à résoudre l’équation de la question précédente. D’après la réponse à la question 3a il y a une infinité de solutions à cette équation. Les matrices A solution sont de la forme :
$$A = \begin{pmatrix}
2k+1 & 5k+2\\
2 & 5
\end{pmatrix}$$
Partie B
Dans cette partie, on note A une matrice appartenant à S. On rappelle que a,b,c,d sont des entiers relatifs et que \(ad-bc = 1\). A est de la forme
$$A = \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$$
Question 1
Le théorème de Bezout nous dit que deux entiers relatifs sont premiers entre eux si et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que \(au-bv=1\). On en déduit donc que a et b sont premiers entre eux puisque \(ad-bc = 1\).
Question 2a
Soit la matrice \(B\)
$$B = \begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}$$
On a $$AB= \begin{pmatrix}
ad-bc & -ab+ba\\
cd – cd & -cb +ab
\end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}$$
Question 2B
D’après la question précédente, on a trouvé une matrice B telle que \(AB=BA = I_2\)
On en déduit que la matrice A est inversible et que \(A^{-1}=B\).
Question 2c
D’après la question précédente, \(A^{-1}=B\).
Donc $$A^{-1} = \begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}$$
On a donc \(da-(c)(-b)=ad-bc=1\). Donc \(A^{-1}\) appartient à S.
Question 3a
Soient x et y deux entiers relatifs. On note x’ et y’ les entiers relatifs tels que :
$$\left(\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)$$
On calcule le produit :
$$\left(\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}
ax +by \\
cx+dy
\end{array}\right)$$
Pour trouver l’égalité demandée par l’énoncé, il faut se débarrasser des \(y\), on multiplie la première ligne par d et la deuxième par b et on soustrait la ligne 2 à la ligne 1. On obtient
\(dx’-by’=adx-bcx+bdy-bdy=(ad-bc)x=x\).Question 3b
On note D le PGCD de x et y et D’ celui de x’et y’.
Comme D’ est le PGCD de x’ et y’, il divise x’ et y’. Or d’après la question précédente on a \(dx’-by’=x\). Donc D’ divise x. De même, \(y=ay’+cx’\), donc D’ divise aussi y’. Donc D’ est un diviseur commun de x et y. Par conséquent, il divise D.
De meme, D est le PGCD de x et y donc il divise x et y or \(x’=ax +by \). Alors D divise x’ et \(y’=cx+dy\). Donc D divise y’. Donc D divise D’.
On a donc \(D=+D’\) ou \(D=-D’\), mais les PGCD sont des nombres positifs donc \(D=D’\)
Question 4
Considérons la matrice A
Donc $$A = \begin{pmatrix}
2 & 3\\
1 & 2
\end{pmatrix}$$
Cette matrice A appartient bien à S.
On peut écrire :
$$\left(\begin{array}{l}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{l}
x_n \\
y_n
\end{array}\right)$$
Montrons par récurrence que \(PGCD(x_0,y_0)= PGCD(x_n,y_n)\).
Initialisation : au rang 1, d’après la question précédente on a bien \(PGCD(x_0,y_0)= PGCD(x_1,y_1)\).
Hérédité : soit \(n \in \mathbb{N}\), suppose que P(n) soit vraie.
D’après la question précédente \(PGCD(x_{n+1},y_{n+1})= PGCD(x_n,y_n)\).
Or d’après l’hypothèse de récurrence \(PGCD(x_0,y_0)= PGCD(x_n,y_n)\), donc \(PGCD(x_{n+1},y_{n+1})= PGCD(x_0,y_0)\).
Par conséquent P(n+1) est vérifiée.
Par principe de récurrence on vient de démontrer que \(PGCD(x_0,y_0)= PGCD(x_n,y_n)\).
Or \(2019 = 3 \times 673\)
Donc \(= PGCD(x_n,y_n)= PGCD(x_0,y_0)=673\).
Voilà qui conclut la correction de cet exercice du bac 2019 sur les matrices.
Pour t’entraîner davantage à l’épreuve spé maths, n’hésite pas à consulter le corrigé du bac de maths S 2018 disponible ici . Le sujet du bac 2019 est disponible avec son corrigé ici. Et si tu as un trou de mémoire, tu trouveras des fiches sur quasiment tout le programme sur le site ! Si tu es intéressé par la prépa économique et commerciale, sache que nous avons également des fiches sur les matrices sur Up2School.
